Banach-tér

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér.

A pontos definíció tehát a következő:

A vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle összefüggéssel származtatott távolságra nézve a tér teljes, vagyis a térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

Metrikus tereknél a teljesség a metrika tulajdonsága, nem pedig magáé a topologikus téré. Ekvivalens metrikára (ami ugyanazt a topológiát generálja) áttérve a teljesség elveszhet. Azonban ekvivalens normákkal ez nem történhet meg; azaz, ha az egy norma által indukált metrikában teljes a tér, akkor a vele ekvivalens normák által indukált metrikákban is teljes. A normált terek esetén a teljesség a norma által indukált topológia tulajdonsága, ami független a konkrét normától.

Elnevezés

szerkesztés

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta.[1] 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt   tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az   terek absztrahálásából született fogalom.

1. Az   (  ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.

2. Az adott   intervallumon folytonos függvények   tere Banach-tér a szuprémum normával.

3. Az adott   intervallumon korlátos változású függvények   tere Banach-tér.

4. Az  -dimenziós   euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett  -dimenziós vektorok Cn tere is Banach-teret alkot.

A továbbiakban   az   vagy a   test,   kompakt Hausdorff-tér,   pedig zárt intervallum. Legyenek   és   valós számok úgy hogy   és  . Legyenek továbbá   szigma-algebra,   halmazalgebra és   mérték.

Jelölés Duális tér Reflexív Gyenge
Teljes
Norma Név
    igen igen   Euklidészi tér
    igen igen   Véges dimenziós vektorok tere a p-normával
    igen igen   Véges dimenziós vektorok tere a maximumnormával
    igen igen   Az abszolútértékek p-edik hatványában összegezhető sorozatok tere
    nem igen   Az abszolútértékben összegezhető sorozatok tere
    nem nem   A korlátos sorozatok tere
    nem nem   A konvergens sorozatok tere
    nem nem   A nullsorozatok tere; izomorf, de nem izometrikus  -vel
    nem igen   A korlátos változású sorozatok tere
    nem igen   A korlátos változású nullsorozatok tere
    nem nein   A korlátos összegek tere; izometrikusan izomorf  -hez
    nem nem   A konvergens összegek tere;   zárt altere; izometrikusan izomorf  -hez
    nem nem   A korlátos  -mérhető  -en értelmezett függvények tere
    nem nem   Az  -en értelmezett folytonos függvények a Borel-σ-algebrával
  ? nem igen   A korlátos végesen additív előjeles mértékek  -n
  ? nem igen   A σ-additív mértékek;   zárt altere
  ? nem igen   A reguláris Borel-mértékek tere;   zárt altere
    igen igen   A p-edik hatványukban Lebesgue-integrálható függvények
  ? nem igen   A korlátos változású függvények tere
  ? nem igen   A korlátos változású függvények tere, melyek határértéke  -ban eltűnik
    nem igen   Az abszolút folytonos függvények tere; izomorf a   Szoboljev-térhez
    nem nem   A sima függvények tere; izomorf  -hez

Néhány fontos tulajdonság

szerkesztés

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

Egy normált tér pontosan akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Minden normált tér teljessé tehető, így egy Banach-teret kapunk, ami a normált teret sűrű altérként tartalmazza.

Ha egy két normált tér közötti   lineáris leképezés izomorfizmus, akkor, ha   teljes, akkor   is teljes.

Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Megfordítva, ha egy Banach-tér bázisa legfeljebb megszámlálható végtelen, akkor az véges dimenziós. Ez utóbbi a teljes metrikus terekre vonatkozó Baire-tételből következik.

Ha   zárt altere az   Banach-térnek, akkor   szintén Bach-tér. Az   faktortér is Banach-tér az   normával.

A Banach-terek első izomorfiatétele: Ha egy két Banach-tér közötti   korlátos lineáris leképezés képe zárt, akkor  . Itt a topologikus izomorfia fogalmáról van szó, vagyis létezik egy   bijektív lineáris leképezés, ami leképezi az   teret a   térre, hogy   és   is folytonos.

Normált terek egy   direkt összege pontosan akkor Banach-tér, ha az összeg minden   tagja Banach-tér.

A Banach–Steinhaus-tétel szerint, ha   Banach-térből normált térbe menő folytonos lineáris operátorok egy családja, akkor a pontonkénti korlátosságból következik az egyenletes korlátosság.

A nyílt leképezés tétele: Egy két Banach-tér közötti   folytonos lineáris leképezés pontosan akkor szürjektív, ha nyílt. Ha   bijektív és folytonos, akkor a   inverz leképezés is folytonos. Ebből következik, hogy minden Banach-terek közötti bijektív korlátos lineáris operátor izomorfizmus.

A zárt grafikon tétele: Egy   lineáris leképezés grafikonja pontosan akkor zárt az   szorzattérben, ha a leképezés folytonos.

Banach–Alaoglu-tétel: Egy Banach-tér duális terében egy zárt egységgyolyó gyengén *-kompakt.

Minden szeparábilis   Banach-térben létezik egy   zárt altere  -nek úgy, hogy  .

Minden Banach-tér egyben Fréchet-tér.

Lineáris operátorok

szerkesztés

Ha   és   normált terek ugyanazon   valós vagy komplex test fölött, akkor az összes folytonos  -lineáris   leképezés halmazát   jelöli.

Végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.

Ekkor   egy  -vektortér, melyen

 

norma. Ha   Banach-tér, akkor   is Banach-tér.

Ha   Banach-tér, akkor   Banach-algebra az   identitásoperátorral, mint egységelemmel. A szorzás a kompozíció.

Duális tér

szerkesztés

Ha   normált tér a   test fölött, akkor   szintén Banach-tér az abszolútértékkel, mint normával. Értelmezhető a topologikus duális tér, mint  . Általában a   algebrai duális tér valódi altere.

  • Ha   normált tér, akkor   Banach-tér.
  • Legyen   normált tér; ekkor, ha   szeparábilis, akkor   is szeparábilis.

A topologikus duális tér használható arra, hogy topológiát definiáljunk az   téren: a gyenge topológiát. A gyenge topológia nem ekvivalens az   normája által indukált topológiájával, ha   dimenziója végtelen. A normatopológiában való konvergenciából következik a gyenge topológiában való konvergencia, megfordítva azonban nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel gyengébb.

Létezik egy   természetes leképezés  -ből  -be, a biduális térre, úgy, mint:   minden   és   esetén. A Hahn–Banach-tételből következik, hogy minden  -beli  -re az   folytonos, ezért   egy eleme. Az   leképezés injektív és folytonos, sőt, izometrikus.

Reflexivitás

szerkesztés

Ha a   leképezés szürjektív is, így izometrikus izomorfizmus, akkor az   normált tér reflexív.

Minden reflexív normált tér Banach-tér.

Egy   Banach-tér pontosan akkor reflexív, ha   reflexív. Ezzel az állítással ekvivalens, hogy   egységgolyója a gyenge topológiában kompakt.

Ha   reflexív normált tér,   Banach-tér és létezik egy korlátos lineáris operátor  -ből  -ba, akkor   reflexív.

Legyen   reflexív normált tér; ekkor   pontosan akkor szeparábilis, ha   is szeparábilis.

James-tétel: Egy   Banach-térre ekvivalensek:

  •   reflexív.
  •  , ahol  , teljesül, hogy  .

Tenzorszorzás

szerkesztés
 
A tenzorszorzat univerzális tulajdonsága

Legyenek   és   vektorterek ugyanazon   test fölött! Ekkor   és   tenzorszorzata egy   fölötti   vektortér, ellátva egy   bilineáris leképezéssel, amire teljesül az univerzális tulajdonság: Ha   tetszőleges bilineáris leképezés egy   fölötti   vektortérben, akkor létezik pontosan egy   lineáris leképezés úgy, hogy  .

Különböző lehetőségek vannak a tenzorszorzat normával való ellátására; így keletkezik például a projektív tenzorszorzat és az injektív tenzorszorzat. Teljes terek tenzorszorzata nem feltétlenül teljes. Emiatt a Banach-terek elméletében tenzorszorzaton gyakran a terek tenzorszorzatának teljessé tételét értik, ami függ az alkalmazott normától.

Besorolása a matematikai struktúrák közé

szerkesztés

Minden Hilbert-tér Banach-tér is, de ez megfordítva nem igaz. A Jordan–Neumann-tétel szerint egy Banach-tér pontosan akkor látható el a normához illeszkedő skalárszorzattal, ha teljesíti a paralelogrammaegyenlőséget.

A funkcionálanalízisben fontos terek egyike például a végtelenszer folytonosan differenciálható   függvények tere, vagy az  -en értelmezett disztribúciók tere teljesek, de mivel nem normált vektorterek, azért nem Banach-terek. A Fréchet-terekben van még teljes metrika is, míg az LF-terek teljes uniform vektorterek, melyek a Fréchet-terek határeseteként felmerülnek. Itt lokálisan konvex terek, illetve topologikus vektorterek speciális osztályairól van szó.

Minden normált tér izometrikus izomorfia erejéig egyértelműen teljessé tehető, ami azt jelenti, hogy sűrű altérként Banach-térbe ágyazható.

Fréchet-derivált

szerkesztés

Lehetséges   típusú függvényeket is deriválni, ahol   és   Banach-terek. Intuició szerint, ha   a   Banach-tér eleme, akkor   deriváltja az   pontban egy folytonos lineáris leképezés, ami az   pont közelében az   függvényt a   távolság rendjében approximálja.

Az   függvény Fréchet-differenciálható az   pontban, hogyha van egy   folytonos lineáris leképezés úgy, hogy

 .

Itt a határérték az összes, nullvektor elemet nem tartalmazó  -beli sorozaton van értelmezve, ami a nullvektorhoz tart. Ha ez a határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy  , és ez   Fréchet-deriváltja az   pontban. A derivált további általánosításai véges dimenziós terek analízisével analóg módon vezethetők be. Az összes deriváltfogalomban közös a   lineáris leképezés folytonossága.

A deriváltnak ez a fogalma az   függvények közönséges deriváltjának egy általánosítása, mivel az összes   lineáris leképezés konstanssal való szorzás.

Ha az   függvény   minden pontjában differenciálható, akkor   szintén Banach-terek közötti leképezés, de általában nem lineáris leképezés. Ez is ugyanúgy differenciálható lehet, így   magasabb rendű deriváltjai is definiálhatók. Az  -beli  -edik derivált egy   multilineáris leképezés.

A differenciálás lineáris leképezés a következő értelemben: Ha   és     leképezések, melyek differenciálhatók ugyanabban az   pontban, továbbá   és   skalárok  -ból, akkor   is differenciálható az   pontban, és

 .

A láncszabály is teljesül ebben az összefüggésben. Ha    -ben és    -ben differenciálható, akkor   differenciálható az   pontban, és a derivált:

 

Az irány menti deriváltak is általánosíthatók végtelen dimenziós vektorterekre; erre egy lehetőség a Gâteaux-derivált.

Banach-térbeli értékű függvények integrációja

szerkesztés

Bizonyos feltételek teljesülése esetén lehetséges értékeiket Banach-térből felvevő függvényeket integrálni. A 20. században több különböző megközelítés is született az értékeiket Banach-térből felvevő függvények integrációjának elméletéhez. Ezek közé tartozik a Bochner-integrál, a Birkhoff-integrál és a Pettis-integrál. Véges dimenziós Banach-terekben mindezek a megközelítések ugyanahhoz az integrálhoz vezetnek, de ez végtelen dimenzióban nem feltétlenül teljesül. Távolabbról az áttérés a közönséges mértékekről a vektoriális mértékekre való áttérésről lehet beszélni, melyek értékeiket Banach-terekből veszik fel, és integrált definiálni ezeken a mértékeken.

A Banach-terek a Bochner–Lebesgue-normával típus és kotípus szerint osztályozhatók.

  1. A. Pietsch. History of Banach spaces and linear operators. Boston, Mass.: Birkhäuser (2007. július 15.) 
  • Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
  • Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
  • John B. Conway. A Course in Functional Analysis (angol nyelven). New York, NY: Springer New York (2007) 
  • Hans Wilhelm Alt. Lineare Funktionalanalysis, 6., átdolgozott (német nyelven), Berlin Heidelberg: Springer (2012) 
  • Bernard Beauzamy. Introduction to Banach spaces and their geometry, Elsevier Science Pub. Co. (North-Holland) (angol nyelven) (1982) 
  • Joe Diestel. Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (angol nyelven) (1984) 
  • Nelson Dunford, Jacob T. Schwartz. Linear Operators 1 – General theory (angol nyelven). New York: Wiley Interscience Publ (1988) 
  • Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri. Classical Banach spaces, Reprint of the 1977, 1979 ed (angol nyelven), Berlin Heidelberg: Springer (1996) 
  • Robert E. Megginson. An Introduction to Banach Space Theory (angol nyelven). New York, NY: Springer New York (1998) 
  • Albrecht Pietsch. History of Banach Spaces and Linear Operators (angol nyelven). Boston, MA: Birkhäuser Boston (2007) 
  • Raymond A. Ryan. Introduction to Tensor Products of Banach Spaces (angol nyelven). London: Springer London (2002) 
  • Prof. Dr. A. Deitmar: Funktionalanalysis (PDF, 2011/2012, 497 KB)
  • Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Warszawa 1932. Monografie Matematyczne; Zwei Rezensionen (1933 und 2017) lásd még: Zbl 0005.20901

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Banachraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.