Főmenü megnyitása

A matematikában a Bessel-függvények a Bessel-féle differenciálegyenlet kanonikus megoldásai (y(x)). A Bessel-féle differenciálegyenlet:

Ezt a függvényt először Daniel Bernoulli (1700 – 1782) svájci fizikus definiálta, majd Friedrich Bessel (1784 – 1846) német matematikus általánosította, és róla nevezték el a függvényeket.

A differenciálegyenlet igaz bármely valós vagy komplex α-ra (ez a függvény rendszáma). A legfontosabb esetekben α egy egész vagy félegész szám. A differenciálegyenletnek két fajta megoldása ismeretes: ezek az I. fajú Bessel-függvény (Jα) és a II. fajú Bessel-függvény (Yα) (Neumann-függvény). Létezik egy III. fajú függvény is, de ezt inkább Hankel-függvénynek hívják, mely a I. fajú Bessel-függvény és a II. fajú Bessel függvény speciális kombinációja.

AlkalmazásokSzerkesztés

A Bessel-függvények a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenletek megoldásaira használják hengerkoordináta-rendszerben, vagy gömbi koordináták rendszerében. A Bessel-függvények különösen fontosak a hullámterjedési problémák megoldásánál, és statikuspotenciál-problémák esetén. Hengerkoordináta-rendszerben a Bessel-függvényeknél az α=n; gömbi koordináták rendszerében a félegész szám rendű megoldás alkalmazható ((α = n+1/2).

Példák az alkalmazási területekreSzerkesztés

I. fajú Bessel-függvény (Jα)Szerkesztés

 
I.fajú Bessel-függvény, α =0,1,2 esetekre

II. fajú Bessel-függvény (Yα)Szerkesztés

 
II.fajú Bessel-függvény, α =0,1,2 esetekre

Bessel-integrálSzerkesztés

n egész értékekre a Bessel-függvény definiálható integrállal is:

 

Egy másik analóg kifejezés integrállal:

 

Bessel ezt a kifejezést használta, és ebből a kifejezésből vezette le a függvény számos tulajdonságát.

Módosított Bessel-függvénySzerkesztés

A Bessel-függvények érvényesek komplex argumentumú x-ekre is. Egy fontos speciális eset, amikor az argumentum tisztán komplex. Ezekben az esetekben a Bessel-függvény megoldásait módosított Bessel-függvényeknek hívják (vagy hiperbolikus Bessel-függvénynek).[1]

 
Módosított I.fajú Bessel-függvény, n =0,1,2 esetekre
 
Módosított II.fajú Bessel-függvény, n =0,1,2 esetekre

IrodalomSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.