Birkhoff-axiómarendszer

A Birkhoff-axiómarendszert George David Birkhoff alkotta meg 1932-ben.[1] Valójában négy posztulátum, amelyek révén az euklideszi geometria síkját lehet leírni algebrai eszközökkel. Ezeket beosztással rendelkező vonalzóval, valamint szögmérővel kísérletileg lehet ellenőrizni. Mivel a posztulátumok a valós számokon alapulnak, a megközelítés a geometria modellalapú bevezetéséhez hasonló.

Az axiómarendszert Birkhoff és Beatley középiskolai matematikakönyvében közölték először.[2] Erre alapozva az Iskolai Matematikai Tanulmányi Csoport egy szabványt dolgozott ki a geometria főiskolai oktatására. Némely további tankönyv a geometria alapjait szintén ezen axiómarendszer egy változata alapján tanítja.[3]

PosztulátumokSzerkesztés

Birkhoff az alábbi négy feltételt kötötte ki:

Az egyenes mértéke

Bármely   kollineáris ponthalmaz 1:1 arányban feleltethető meg egy   valós számhalmaznak, ahol   minden pontpárra.

Pont-vonal kapcsolat

Bármely   pontpárhoz pontosan egy   egyenes rendelhető, amely tartalmazza mindkét pontot.

A szögek mértéke

Egy adott   ponton átmenő   egyenessor 1:1 arányban megfeleltethető az   valós számhalmaznak. Ha   és   ( ), akkor az egyeneseknek megfeleltetett   számokra  .

Hasonlóság

Ha adottak az   és   háromszögek és   konstans úgy, hogy  , valamint  , akkor   és a megfelelő szögek is egyenlőek.

ForrásokSzerkesztés

  1. Birkhoff, George David (1932), "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)", Annals of Mathematics 33 (2): 329–345, DOI 10.2307/1968336
  2. Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
  3. Kelly, Paul Joseph & Matthews, Gordon (1981), The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Birkhoff's axioms című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.