Főmenü megnyitása

A Cauchy-kritérium feltétel egy sorozat konvergenciájának eldöntésére.

Ha definíció szerint szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens-e, akkor előre tudnunk kellene a sorozat határértékét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a határérték előzetes ismeretét. Emiatt ezt a kritériumot "belső" konvergencia-kritériumnak nevezzük, ugyanis a sor "belső" szerkezeti tulajdonsága alapján dönti el a konvergencia tényét. A Cauchy-kritérium csak teljes metrikus terekben érvényes.

A Cauchy-kritériumSzerkesztés

Tétel: Legyen   metrikus tér és   sorozat, ha  , akkor minden   esetén létezik olyan  , amelyre minden   esetén  .

Bizonyítás: Mivel   számhoz   esetén  

Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

  1. a   végtelen sor konvergens
  2.  

Ez azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat.

Lásd mégSzerkesztés

IrodalomSzerkesztés