Főmenü megnyitása

Cochran-tétel

ÁllításSzerkesztés

Tegyük fel, hogy U1, ..., Un független normális eloszlású valószínűségi változók, és felírható a

 

alak, ahol minden Qi, U lineáris kombinációinak négyzetösszegei. Továbbá tegyük fel, hogy

 

ahol ri Qi rangja.

Cochran tétele azt állítja, hogy Qi-k függetlenek, és minden egyes Qi khi-négyzet eloszlású ri szabadságfokkal. Itt Qi rangját úgy kell értelmezni, mint egy B(i) mátrix dimenzióját, Qi négyzetes ábrázolásában:

 

Kevésbé formálisan, ez a lineáris kombinációk száma, mely tartalmazza a Qi-t meghatározó négyzetek összegét, feltéve, hogy a lineáris kombinációk lineárisan függetlenek.

PéldákSzerkesztés

Minta középérték és minta szórásnégyzetSzerkesztés

Ha X1, ..., Xn független, normális eloszlású valószínűségi változók μ középértékkel és σ szórással, akkor

 

minden egyes i-re standard normális.

Felírhatjuk, hogy

 

(itt az összegzés 1-től n-ig tart, a teljes megfigyelési tartományban)  -tel megszorozva:

 

és kiterjesztve

 

A harmadik tag zéró, mert konstans idővel egyenlő

 

a második tag n azonos tag összege. Így:

 

és ezért

 

Q2 rangja 1, Q1 rangja n–1, és így a Cochran-tétel feltételei teljesültek. A Cochran-tétel állítja, hogy Q2 és Q1 függetlenek, khi-négyzet eloszlással, és n–1, és 1 szabadságfokokkal. Ez mutatja, hogy a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Ez a Basu-tételből is következik, és ez a tulajdonság a normális eloszlásra jellemző, nincs más eloszlás, ahol a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

EloszlásokSzerkesztés

Az eloszlásokra szimbolikusan a következők írhatók:

 
 

Mindkét valószínűségi változó arányos az igazi, de ismeretlen σ2 szórásnégyzettel. Így arányuk nem függ σ2-től, és mivel statisztikusan függetlenek, az arányuk eloszlása:

 

ahol F1,n−1 az F-eloszlás 1 és n−1 szabadságfokkal (lásd Student-féle t-eloszlás). Itt a végső lépés a valószínűségi változó meghatározása, melynek F-eloszlása van.

Szórásnégyzet becsléseSzerkesztés

 

Cochran-tétel szerint:

 

és a khi-négyzet eloszlás tulajdonságából következően a várható   :  .

IrodalomSzerkesztés

  • Cochran, W. G: "The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance". (hely nélkül): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2). 1934.  
  • Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models (Second ed.). (hely nélkül): Springer. 1934. ISBN 9780387988719  

JegyzetekSzerkesztés

  1. Bapat, R. B.. Linear Algebra and Linear Models, Second, Springer (2000). ISBN 9780387988719 
  2. http://www.staff.u-szeged.hu/~rajko/oktatas/matstat/index.html
  3. Cochran, W. G. (1934. April). „The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2), 178–191. o. DOI:10.1017/S0305004100016595.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés