De Morgan-azonosságok

A de Morgan-féle azonosságok logikai kapukkal ábrázolva

A de Morgan-azonosságok a matematikai logika, illetve a halmazelmélet két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok Augustus de Morgan angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet William Ockham már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden Boole-algebrában érvényesek.

AzonosságokSzerkesztés

A de Morgan-azonosságokat logikailag a következőképpen fejezhetjük ki:

nem (a és b) = (nem a) vagy (nem b)
nem (a vagy b) = (nem a) és (nem b)

A de Morgan-féle azonosságok felírására a matematikában számos különböző jelölés használatos. Az ítéletkalkulus formuláival például

  vagy  

A halmazelméletben ezen formulák megfelelői a következők:

 
 

ahol A az A komplementerhalmaza,   jelöli két halmaz metszetét és   jelöli két halmaz egyesítését.

Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálható I indexhalmazok esetét is:

  és  .

KövetkezményekSzerkesztés

Egy konjunkció (ÉS-kapcsolat) a de Morgan-azonosságok segítségével átalakítható három negáció és egy diszjunkció (VAGY-kapcsolat) kompozíciójára a következőképpen:

 

Hasonlóképpen egy diszjunkció átalakítható három negáció és egy konjunkció kompozíciójára:

 

AlkalmazásSzerkesztés

A de Morgan-azonosságok fontos alkalmazási területe a diszkrét matematika, az elektronika, a fizika és az informatika. Gyakran használják őket a digitális áramkörök fejlesztésében az alkalmazott logikai kapuk típusának egymással való felcserélésére, illetve a használt kapuk számának a csökkentésére.

ForrásokSzerkesztés