Digamma-függvény
A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.
Ez az első poligamma-függvény.
Kapcsolat a harmonikus számokkal szerkesztés
A digamma-függvény (jelölései: ψ0(x), ψ0(x), vagy , a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:
ahol Hn az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:
Intergrállal kifejezve szerkesztés
ez a kifejezés akkor érvényes, ha valós része pozitív.
Kifejezhetjük:
mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.
Sorozattal kifejezve szerkesztés
A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:
vagy
Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:
,
ahol p(n) és q(n) n polinomjai.
Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:
feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.
Taylor sorok szerkesztés
A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:
- ,
mely konvergál |z|<1 felé. Itt a a Riemann-féle zéta-függvény.
Newton sor szerkesztés
A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:
ahol a binomiális együttható.
Reflexiós képlet szerkesztés
A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.
Gauss-összeg szerkesztés
A digamma Gauss-összege:
egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a a Bernoulli-polinom.
Gauss digammaelmélete szerkesztés
Gauss digamma elmélete,[1][2] szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:
Közelítések szerkesztés
J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint[3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:
Hasonló közelítés magasabb tagokra:
Speciális értékek szerkesztés
Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:
Jegyzetek szerkesztés
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/GausssDigammaTheorem.html
- ↑ http://www.wolframalpha.com/input/?i=gauss's+digamma+theorem
- ↑ (1976) „Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation”. Applied Statistics 25, 315-317. o.
Források szerkesztés
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o.
- Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.