Főmenü megnyitása
Digamma-függvény a komplex síkon: a színek kódolják az s értékét, erősebb színek a zéró közeli értékeket mutatják

A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.

Ez az első poligamma-függvény.

Kapcsolat a harmonikus számokkalSzerkesztés

A digamma-függvény (jelölései: ψ0(x), ψ0(x), vagy  , a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:

 

ahol Hn az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:

 

Intergrállal kifejezveSzerkesztés

 

ez a kifejezés akkor érvényes, ha   valós része pozitív.

Kifejezhetjük:

 

mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.

Sorozattal kifejezveSzerkesztés

A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:

 

vagy

 

Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:

 ,

ahol p(n) és q(n) n polinomjai.

Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:

 

feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.

Taylor sorokSzerkesztés

A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:

 ,

mely konvergál |z|<1 felé. Itt a   a Riemann-féle zéta-függvény.

Newton sorSzerkesztés

A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:

 

ahol   a binomiális együttható.

Reflexiós képletSzerkesztés

A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.

 

Gauss-összegSzerkesztés

A digamma Gauss-összege:

 

  egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a   a Bernoulli-polinom.

Gauss digammaelméleteSzerkesztés

Gauss digamma elmélete,[1][2] szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:

 

KözelítésekSzerkesztés

J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint[3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:

 

Hasonló közelítés magasabb tagokra:

 

Speciális értékekSzerkesztés

Gauss digamma elmélete eredményeképpen, a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:

 
 
 
 
 
 

IrodalomSzerkesztés

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o.  
  • Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés