Diofantoszi egyenlet

A matematikában a diofantoszi egyenlet vagy diofantikus egyenlet olyan egész együtthatós, általában többismeretlenes algebrai egyenlet, amelynek megoldásait az egész, ritkábban a természetes számok, illetve racionális számok körében keressük. A 3. században élt görög matematikusról, Diophantoszról kapta nevét.

Legegyszerűbb az elsőfokú, kétismeretlenes diofantoszi egyenlet, amelyet ax + by = c alakban szokás felírni. Ennek az egyenletnek akkor és csakis akkor van egész számokból álló megoldása, ha az ismeretlenek együtthatóinak legnagyobb közös osztója a jobb oldalra írt állandónak is osztója. Az elsőfokú diofantoszi egyenlet megoldására ismeretesek különböző eljárások, de a magasabb fokúakra alig ismerünk általános megoldási módszereket.

PéldákSzerkesztés

  •   megoldásai ezek az   számpárok: …, (−3, 9), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), …; általában:  , ahol  
  •   nem oldható meg, mivel a baloldal sosem negatív, lévén négyzetszámok összege.
  •   nem oldható meg, mivel a 4 nem osztható 3-mal, így nincs olyan egész szám, melynek háromszorosa négy.

Lineáris egyenletekSzerkesztés

Az   egyenlet egész számokban akkor és csak akkor oldható meg, ha  . Ha kikötjük, hogy a,b,m pozitív egész legyen és  , akkor pontosan   olyan m szám van, ami nem állítható elő nemnegatív x-szel és y-nal   alakban, a legnagyobb közülük  . Általában az   egyenlet pontosan akkor oldható meg egészekben,ha  .

Pell-egyenletSzerkesztés

A Pell-egyenlet az   diofantoszi egyenlet, ahol   nem négyzetszám. Az  ,   megoldás triviális, tehát a nemtriviális megoldásokat keressük. Minden Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van és ezek   alakban írhatók, ahol   teljesül (  az alapmegoldás). Ha   négyzetszám, akkor a megoldás triviális:  , és nincs több.

A Pell-egyenlet megoldása egyenértékű azzal, hogy megtaláljuk az egységeket a   kvadratikus számtest algebrai egészeinek gyűrűjében. Ez a test a racionális számokból kapható   négyzetgyökével bővítve.

Pitagoraszi számhármasokSzerkesztés

A pitagoraszi számhármasok az   diofantoszi egyenlet megoldásai. A megoldások általános alakja  ,  ,  .

A pitagoraszi számhármasok általánosításaként Fermat azt állította 1637-ben, hogy ha 2 helyett nagyobb egész kitevős hatványt veszünk, akkor az egyenletnek nem lesznek pozitív egészekből álló megoldásai. Ennek igazolása több, mint 350 évbe telt, és nagy hatással volt az algebra fejlődésére a test- és gyűrűelmélet terén. 1994-ben Andrew Wiles bizonyított egy tételt, amiről már tudták korábban, hogy következik belőle a nagy Fermat-tétel.

Két négyzetszám összegeSzerkesztés

A kétnégyzetszám-tétel szerint, ha n természetes szám, akkor az   diofantoszi egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha n prímhatvány-felbontásában minden 4k-1 alakú prím páros kitevővel szerepel. A megoldások száma is pontosan meghatározható.

Gyökös diofantoszi egyenletekSzerkesztés

A gyökös diofantoszi egyenletek alakja

 

ahol

 

mind egészek.

Ezekre az egyenletekre a lineáris egyenletekhez hasonlóan van általános algoritmus.

Exponenciális diofantoszi egyenletekSzerkesztés

Ha egy diofantoszi egyenletben további ismeretlen(ek) vannak, amely(ek) kitevőként szerepel(nek), akkor ez exponenciális diofantoszi egyenlet. Egy példa ilyenre a Ramanujan-Nagell egyenlet,  . Ilyen egyenletekre nem létezik általános elmélet. Speciális esetekre, mint a Catalan-sejtés, van megoldás; azonban a többségüket ad hoc módon oldják meg, akár a Størmer-módszerrel, vagy próbálgatással.

ElemzésükSzerkesztés

A diofantoszi egyenletek megoldásainak keresésében segítenek ezek a kérdések:

  • Megoldható az adott egyenlet?
  • Vannak-e még más megoldások is az ismerteken kívül?
  • Véges, vagy végtelen megoldás van-e?
  • Tényleg létezik-e minden, elméletben létező megoldás?
  • Kiszámítható-e az összes megoldás?

Ezek sokszor évszázadokig nyitott kérdések voltak. Fermat sejtését csak a 20. század végén tudta bizonyítani Andrew Wiles az algebrai geometria eszközeivel. Az 1922-ben felvetett Mordell-sejtést, ami szerint az 1-nél nagyobb nemszámú görbéknek csak véges sok racionális pontja lehet, 1983-ban látta be Gerd Faltings. Ez a Faltings-tétel.

Hilbert tizedik problémájaSzerkesztés

A diofantoszi egyenletek megoldhatósága a David Hilbert által 1900-ban kitűzött problémák közé tartozott. Ez volt a nevezetes tizedik probléma. 1970-ben Jurij Vlagyimirovics Matijasevics oldotta meg azzal, hogy a probléma eldönthetetlen, vagyis nincs közös algoritmus az összes diofantoszi egyenletre. Az eredményhez felhasználta Martin Davis, Hilary Putnam és Julia Robinson munkáit. Davis (1953) átfogalmazta a problémát diofantoszi halmazokra, továbbá ő állította fel azt a sejtést is, hogy ezek identikusak a rekurzívan felsorolható halmazokkal. Ennek megoldásával Hilbert tizedik problémája is megoldódott.

Az   halmaz diofantikus, ha pozitív egészek  -eseiből áll úgy, hogy ha  , akkor

 

teljesül az   pozitív egész paraméterekkel:

 

Megmutatható, hogy a pozitív egész feltétel nem korlátozza az általánosságot.

Például az összetett számok diofantoszi halmazt alkotnak. Ehhez egy megfelelő polinom  , az   paraméterekkel. Hasonlóan, a pozitív páros számok halmaza is diofantoszi, a   polinommal. A definíció alkalmazható   polinomhalmazokra, mivel ezek visszavezethető egyetlen polinomra, ami  . Ennek megfelelően az   diofantoszi függvények megadhatók az   diofantoszi halmazzal. Putnam 1960-ban belátta, hogy a természetes számok minden diofantoszi halmaza előáll egész együtthatós polinom megoldáshalmazaként a természetes számokon.[1]

Néha nehéz megmutatni, hogy egy halmaz diofantoszi. Ilyen például a prímszámok halmaza, szemben az összetett számokkal, 2 hatványaival és az   faktoriális számokkal. Julia Robinson ezután nem tudta belátni, hogy   diofantoszi. Viszont megmutatta, hogy ez következik abból, hogy van diofantoszi halmaz, ami exponenciálisan nő. Ez azt jelenti, hogy a definiáló egyenletben a változók egyike megjelenik a kitevőben. Pontosabban:

Létezik egy   diofantoszi halmaz úgy, hogy:

  • Ha  , akkor  .
  • Tetszőleges pozitív   esetén van   úgy, hogy  .

A diofantoszi halmazok definíció szerint rekurzívan felsorolhatók, azaz van algoritmus, ami pontosan ezekre az elemekre áll le. Davis és Putnam közreműködésével Robinson megmutatta,[2] hogy a rekurzív felsorolható halmazok pontosan az exponenciális diofantoszi halmazok; továbbá, hogy az:

„Minden rekurzív felsorolható halmaz diofantoszi”

állítás következne az exponenciálisan növekvő diofantoszi halmazok létéből. 1970-ben Matijasevics ezt bizonyította a Fibonacci-sorozat segítségével. Példája tíz polinomiális egyenletet tartalmazott 15 ismeretlennel.[3]

Mivel a kiszámíthatósági tétel szerint vannak rekurzív felsorolható halmazok (Cantor-féle átlós eljárással), melyek nem dönthetők el, következik, hogy Hilbert tizedik problémája sem oldható meg.

Mivel a prímszámok rekurzívan felsorolhatók, következik, hogy van egy diofantoszi egyenlet, aminek ezek, és csak ezek a megoldásai.

Thoralf Skolem óta ismert, hogy a diofantoszi egyenletek visszavezethetők legfeljebb negyedfokú egyenletekre. Matijasevics azt is megmutatta, hogy az egyenleteknek vannak olyan reprezentációi, melyek legfeljebb kilenc ismeretlent tartalmaznak.

Gödel nemteljességi tétele szerint az aritmetika bármely axiómarendszerében vannak megoldhatatlan diofantoszi egyenletek, melyek megoldhatatlansága nem bizonyítható.[4]

A diofantoszi egyenletek elméleteSzerkesztés

Az ismertebb általános módszerek a végtelen leszállás és a Hasse-elv. Ezek inkább a megoldhatatlanság bizonyítására, mint a megoldások keresésére valók. A végtelen leszállás alkalmazásakor egy feltételezett legkisebb megoldásból még kisebb megoldásokat gyártanak, ezzel kimutatják, hogy az egyenlet nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. A Hasse-elv a kínai maradéktétel felhasználásával mutatja ki az egyenlet megoldhatatlanságát.

Axel Thue 1908-ban megmutatta,[5] hogy az   alakú egyenletek esetén, ha   kétváltozós, irreducibilis, és legalább haarmadfokú, és   egész, csak véges számú megoldás lehetséges. Azóta ezeket az egyenleteket Thue-egyenleteknek nevezik. A bizonyítás nem konstruktív; becsléseken alapul, melyek az algebrai számokat racionálisokkal közelítik. Másodfokra a tétel nem teljesül, ezt a Pell-egyenletek mutatják.

Alan Baker[6] 1968-ban effektív becslést adott a Thue-egyenletek megoldászámaira az algebrai számok logaritmusának lineáris formáival. 1989-ban De Weger és Tzanakis hatékony megoldási módszert adott rájuk.[7]

1929-ben Carl Ludwig Siegel bizonyította, hogy azok az egyenletek, melyek   topologikus nemű algebrai görbéket írnak le, véges megoldásszámúak.[8] A bizonyítás nem konstruktív; diofantoszi approximáción alapul. Az egész számok helyett racionálisokat tekintve a Mordell-sejtéshez jutunk.

1938-ban[9] Thoralf Skolem megoldási módszert talált az   alakú diofantoszi egyenletekre, ahol   irreducibilis polinom, ami a racionális számok egy testbővítésében   tényezőre bomlik, és még egy további feltételt is teljesít. Ide tartoznak a Thue-egyenletek is, mégpedig ha   nem minden gyöke valós. Módszere a p-adikus analízis volt ((lokális módszer).

További információkSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  • Matiyasevich, Yuri Vladimirovich. Hilbert's Tenth Problem. Kiadó: Foundations of Computing, MIT Press. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1993. ISBN 0-262-13295-8.
  • Martin Davis, Reuben Hersh: Hilbert’s tenth problem. Scientific American, Band 229, November 1973.
  • Martin Davis: Hilbert’s tenth problem is unsolvable. American Mathematical Monthly, Band 80, 1973, S. 233–269.
  • Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Julia Robinson: Hilbert’s tenth problem, Diophantine equations, positive aspects of a negative solution. In: F. Browder: Mathematical developments arising from Hilbert’s problems. AMS, Teil 2, 1976, S. 323–378.
  • Alexandra Shlapentokh: Hilbert’s tenth problem: Diophantine classes and extensions to global fields. Cambridge UP, 2006.
  • Mordell, L. J.. Diophantine Equations. Academic Press (1969). ISBN 0-12-506250-8 
  • Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine Approximations and Diophantine Equations, Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag (2000) 
  • Exponential Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press (1986). ISBN 0-521-26826-5 
  • Smart, N. P.. The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations, London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press (1998). ISBN 0-521-64156-X 
  • Stillwell, John. Mathematics and its History, Second Edition, Springer Science + Business Media Inc. (2004). ISBN 0387953361 
  • Tóth Árpád: Diofantosz és a diofantikus egyenletek (magyar nyelven). Érintő (Bolyai János Matematikai Társulat), 2017. június 1.
  • G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5th ed., Clarendon Press, Oxford, England 1979.

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Diophantine equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Diophantische Gleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. H. Putnam: An unsolvable problem in number theory. J. Symb. Logic, Band 25, 1960, S. 220–232.
  2. M. Davis, H. Putnam, J. Robinson: The decision problem for exponential diophantine equations. Annals of Mathematics, Band 74, 1961, S. 425–436.
  3. Explizit angegeben zum Beispiel in Davis: Hilbert’s tenth problem. Scientific American, November 1973, S. 91.
  4. Davis: Hilbert’s tenth problem. Scientific American, November 1973, S. 91.
  5. A. Thue: Bemerkungen über gewisse Näherungsbrüche algebraischer Zahlen. Vid.-Selsk., Math.-Naturwiss. Klasse, Nr. 3, Oslo 1908.
  6. A. Baker: Contributions to the Theory of Diophantine Equations. I. On the Representation of Integers by Binary Forms. Phil. Transactions Royal Society, Band 263, 1968, S. 173–191.
  7. N. Tzanakis, B. M. M. De Weger: On the practical solution of the Thue equation. J. of Number Theory, Band 31, 1989, S. 99–132.
  8. C. L. Siegel: Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Math.-Phys. Klasse, 1929, Nr. 1.
  9. Th. Skolem: Diophantische Gleichungen. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer, Berlin 1938, dargestellt in:
    Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Zahlentheorie. Birkhäuser, 1966.
    L. Mordell: Diophantine Equations. 1969, Kapitel 23.