Diszjunkt halmazok

A matematikában két halmazról akkor mondjuk, hogy diszjunkt halmazok, ha nincs közös elemük.

Két diszjunkt halmaz

Például {1, 2, 3} és {4, 5, 6} diszjunkt halmazok.

A szó latin eredetű: disjunctio elválást, elválasztást jelent.[1]

MagyarázatSzerkesztés

 
Diszjunkt halmazrendszer

Formálisan két halmaz, A és B akkor diszjunkt, ha metszetük üres halmaz, azaz ha

 

Ez a definíció kiterjeszthető halmazok tetszőleges készletére. Egy halmazkészlet párosan avagy kölcsönösen diszjunkt, ha a készletben bármely két, egymástól különböző halmaz diszjunkt.

Formálisan, legyen I indexhalmaz, és minden i-re az I-ben legyen Ai egy halmaz. Ekkor {Ai : iI} halmazcsalád páronként diszjunkt, ha bármely i és j-re az I-ben: ij, azaz ha

 

Például az { {1}, {2}, {3}, ... } halmazkészlet páronként diszjunkt.

Ha {Ai} páronként diszjunkt készlet (tehát legalább két halmazt tartalmaz), akkor a metszetük (közös részük) üres:

 

A fordítottja azonban nem igaz: {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} készlet közös része üres, de a készlet nem páronként diszjunkt. Ebben a készletben gyakorlatilag nincs két diszjunkt halmaz.

X felbontásakor annak bármely nem üres részhalmaz-készlete {Ai : iI} úgy, hogy {Ai} páronként diszjunkt, és

 

Diszjunkt halmazok unióját diszjunkt uniónak nevezik. Ha a halmazrendszerben nincsenek üres halmazok, akkor ez a rendszer az egyesítés partíciója.

PéldákSzerkesztés

  • Az   és   halmazok diszjunktak, mivel nincs közös elemük.
  • Az   és   halmazok nem diszjunktak, mivel a   közös eleműk.
  • AZ  ,   és   halmazok nem páronként diszjunktak, mivel a három páronkénti metszethalmaz egyike (azaz  ) nem üres.
  • A következő felsorolással definiált (végtelen) diszjunkt halmazcsalád az egész számok végtelen partícióját alkotja:  .

Legyenek   és   egyenesek egy euklideszi síkban. Ekkor   és   pontosan akkor diszjunkt, ha párhuzamosak. Egy adott egyenessel párhuzamos egyenesek párhuzamos nyalábot alkotnak. A párhuzamos nyalábok egyenként a sík pontjainak partíciói, és a párhuzamos nyalábok, mint diszjunkt egyeneshalmazok a sík egyeneseinek partíciói.

Térben a helyzet bonyolultabb, mivel ott két egyenesnek nem kell feltétlenül párhuzamosnak lenniük ahhoz, hogy ne messék egymást: lehetnek kitérők.

További példák:

AlkalmazásSzerkesztés

Kérdőívek tervezésekor az egyes kérdésekhez megadott válaszoknak partíciót kell alkotniuk. Így nem fordulhat elő, hogy egy válaszadó nem tud egy választ sem megjelölni, vagy több válaszlehetősége is adódik. Például, ha nem diszjunkt a kérdőív, akkor lehet egy ilyen kérdés:

Mennyit keres?

  1. 0-tól 200 000 forintig
  2. 150 000 forint vagy több.

Ekkor, ha a kereset 150 000 vagy 200 000 forint közötti, akkor bármely válasz jelölhető, vagy akár mindkettő, bizonytalanságot hagyva a kérdőív készítőjének.

PéldákSzerkesztés

  • Az   üres halmaz minden halmazzal páronként diszjunkt.
  • Legyen   egyelemű halmaz,   akármilyen halmaz. Ekkor   és   diszjunktak akkor és csak akkor, ha  .
  • Az egyelemű halmazrendszerek páronként diszjunktak.
  • Véges diszjunkt unió elemszáma az unió tagjainak elemszámának összege. Nem diszjunkt esetben a szitaformula alkalmazható.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a disjunkt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Fülöp József: Rövid kémiai értelmező és etimológiai szótár. Celldömölk: Pauz–Westermann Könyvkiadó Kft. 1998. 38. o. ISBN 963 8334 96 7  

ForrásokSzerkesztés

  • Dancs István: Halmazelmélet. (hely nélkül): Aula Kiadó Kft. 2001. ISBN 9639345520  
  • Weisstein, Eric: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): CRC Press. 1999.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés