Diszkrét topológia

A matematika topológia nevű ágában diszkrét topológiának nevezzük az olyan topológiát, amelyben a tér valamennyi részhalmaza nyílt. A diszkrét topológiával felruházott teret magát diszkrét topologikus térnek nevezzük.

Formális definíció szerkesztés

Legyen   egy topologikus tér. Azt mondjuk, hogy   az  -en értelmezett diszkrét topológia, ha   az   alaphalmaz   hatványhalmaza.

Tulajdonságai szerkesztés

  • Bármely halmaz topologikus térré tehető a diszkrét topológiával.
  • Egy adott halmazon értelmezhető topológiák közül a diszkrét topológia a legfinomabb.
  • Minden halmaz nyílt, és minden halmaz zárt.
  • A diszkrét topológia csak nulla dimenziós vektortér felett lineáris. Egy topológia lineáris, ha az alaphalmaz vektortér, és a rajta értelmezett műveletek: az összeadás, és a skalárral szorzás folytonosak.
  • Ha   diszkrét topologikus tér, és   olyan függvény, amely  -et egy másik   topologikus térre képezi le, akkor   szükségképpen folytonos, hiszen minden halmaz  -nél vett ősképe nyílt. Megfordítva, egy   függvény csak akkor lesz folytonos, ha értelmezési tartományának minden részhalmaza nyílt. Emiatt ha   homeomorfizmus, akkor szükségképpen   is diszkrét tér. Ez azt mutatja, hogy diszkrét tér homeomorf képe szintén diszkrét: a diszkrétség topologikus tulajdonság.

Források szerkesztés