Főmenü megnyitása

Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel, illetve ezek kombinációjával fedésbe hozhatók.

A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.

Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.

Tartalomjegyzék

JelöléseSzerkesztés

  és   szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

  vagy  

TulajdonságaiSzerkesztés

  • Legyenek  ,   tetszőleges egyenesek,  ,   az a egyenes tetszőleges pontjai,   pedig a   egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a   egyenesen az   pont egy adott oldalán pontosan egy olyan   pont van, hogy   teljesül.
  • Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges  ,   pontokra teljesül, hogy  .
  • Ha az   szakasz egybevágó az   szakasszal is és az   szakasszal is, akkor az   szakasz egybevágó az   szakasszal.
  • Legyenek  ,   az   egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az  ,   szakaszoknak a   pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá  ,   az   egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az  ,   szakaszoknak a   pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha   és  , akkor  .
  • Legyen   egy tetszőleges szög az   síkon, ahol a   és   a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá   a   sík egy tetszőleges egyenese és jelölje   az   valamely   pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az   síkon pontosan egy olyan, az   pontból kiinduló   félegyenes létezik, amelyre az   (vagy  ) egybevágóság teljesül és a   szög belső pontjai az   egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
  • Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges   szögre   teljesül.
  • Ha az   szög egybevágó a   szöggel is és az   szöggel is, akkor a   szög egybevágó az   szöggel.
  • Legyen   és   két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a  ,   és   egybevágóságok, akkor az   és   egybevágóságok is teljesülnek.

TörténeteSzerkesztés

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül.[1] A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták,[2] ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Lásd Euklidész: Elemek I. könyv Mauer Gyula fordításában és jegyzeteivel a MEK oldalán
  2. Lásd például Tarski axiómarendszerét.

HivatkozásokSzerkesztés

További információkSzerkesztés