Főmenü megnyitása

A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

ahol n = 1,2,3, ... egy pozitív egész szám.

Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha semmilyen k<n, k=1,2,...,n-1 pozitív egész szám esetén nem k-adik egységgyök.

Komplex egységgyökökSzerkesztés

A komplex számok   testében az n-edik egységgyökök pontosan az

 

alakú számok.

Legyen  . Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:

 .

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.

  n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök

 .

A további primitív egységgyökök   n-hez relatív prím kitevős hatványai.

Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké  .

A körosztási testek   bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Az egységgyökök összegeSzerkesztés

Ha     -edik egységgyök, akkor:  

Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

Mértani helyük a komplex számsíkonSzerkesztés

A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.

Így a   egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis  -re

     és    .

PéldákSzerkesztés

A második egységgyökök: 1 és -1.

A harmadik egységgyökök:  ;

A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: :  ,

Az ötödik egységgyökökSzerkesztés

A   egyenlőség alapján

 

ahol  .

Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva   adódik. Mivel a   szög az 1. negyedben fekszik, azért   pozitív, és így  . A valós rész ez alapján nyilvánvaló, a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Körosztási polinomSzerkesztés

Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:

Gyűjtsük össze azokat az x^k-1 alakú polinomokat, ahol k<n osztója n-nek. Vegyük ezek g_n legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy f_n polinom, amit g_n-nel szorozva (x^n-1)-et kapunk. Ez az f_n polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Egységgyökök absztrakt értelmezéseSzerkesztés

Legyen   egységelemes kommutatív gyűrű, és   természetes szám. Egy   egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:

  •  ;
  •   a   polinom gyöke.

Az n-edik  -beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

TestekbenSzerkesztés

A   testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

ForrásokSzerkesztés

  • Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
  • Fried Ervin: Algebra I-II.