Ekvivalenciaosztály
Ekvivalenciaosztálynak nevezzük egy halmaz azon részhalmazát, amelynek elemei egy megadott ekvivalenciareláció szerint ekvivalensek. Az ekvivalenciaosztályok a halmazt diszjunkt módon osztják fel.
Definíció
szerkesztésLegyen halmaz, pedig ekvivalenciareláció felett. Ekkor szerinti ekvivalenciaosztálynak nevezzük a következő halmazt:
Tulajdonságok
szerkesztésDiszjunkt halmazok
szerkesztésAz ekvivalenciaosztályok diszjunkt halmazok:
Bizonyítás
szerkesztésIndirekt módon bizonyítunk: tegyük fel, hogy van olyan elem, amely mindkét osztálynak eleme. Ekkor mindkét osztály minden eleme ekvivalens ezzel az elemmel, és az ekvivalencia definíciója alapján egymással is, tehát a két halmaz kölcsönösen részhalmaza egymásnak, azaz egyenlő.
Az ekvivalencia tranzitivitása alapján
Az ekvivalenciaosztály definíciója szerint pedig
Faktorizálás
szerkesztésHa ekvivalencia a halmaz felett, akkor minden eleme benne van valamelyik ekvivalenciaosztályban. A feletti ekvivalenciaosztályok halmazát faktorhalmazának nevezzük. Jelölése: .
Jegyzetek
szerkesztésTovábbi információk
szerkesztésForrások
szerkesztés- I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematika kézikönyv ISBN 963-9132-59-4