Főmenü megnyitása

Ekvivalenciaosztálynak nevezzük egy halmaz azon részhalmazát, amelynek elemei egy megadott ekvivalenciareláció szerint ekvivalensek. Az ekvivalenciaosztályok a halmazt diszjunkt módon osztják fel.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Legyen   halmaz,   pedig ekvivalenciareláció   felett. Ekkor   szerinti ekvivalenciaosztálynak nevezzük a következő halmazt:

 

TulajdonságokSzerkesztés

Diszjunkt halmazokSzerkesztés

Az ekvivalenciaosztályok diszjunkt halmazok:

 

BizonyításSzerkesztés

Indirekt módon bizonyítunk: tegyük fel, hogy van olyan elem, amely mindkét osztálynak eleme. Ekkor mindkét osztály minden eleme ekvivalens ezzel az elemmel, és az ekvivalencia definíciója alapján egymással is, tehát a két halmaz kölcsönösen részhalmaza egymásnak, azaz egyenlő.

 
 
 

Az ekvivalencia tranzitivitása alapján

 

Az ekvivalenciaosztály definíciója szerint pedig

 
 
 

QED

FaktorizálásSzerkesztés

Ha   ekvivalencia a   halmaz felett, akkor minden eleme benne van valamelyik ekvivalenciaosztályban. A   feletti ekvivalenciaosztályok halmazát   faktorhalmazának nevezzük. Jelölése:  .

JegyzetekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés