A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület , amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben
Ellipszoid
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}
ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális
a
=
b
=
c
{\displaystyle a=b=c}
gömb . Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.
Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid .
A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.
Az ellipszoid térfogatát a
V
=
4
3
π
a
b
c
.
{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!}
képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.
Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel , mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz . A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:
Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy
a
>
b
>
c
{\displaystyle a>b>c}
k
=
a
b
b
2
−
c
2
a
2
−
c
2
{\displaystyle k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}}
φ
=
arcsin
a
2
−
c
2
a
{\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}
így az integrálok
E
(
k
,
φ
)
=
∫
0
sin
φ
1
−
k
2
x
2
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x}
F
(
k
,
φ
)
=
∫
0
sin
φ
1
1
−
x
2
1
−
k
2
x
2
d
x
.
{\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}
Ezzel a felszín
A
=
2
π
c
2
+
2
π
b
a
2
−
c
2
(
c
2
F
(
k
,
φ
)
+
(
a
2
−
c
2
)
E
(
k
,
φ
)
)
.
{\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).}
Helyettesítsük be most k -t,
φ
{\displaystyle \varphi }
u
=
a
2
−
c
2
a
{\displaystyle u={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}
v
=
b
2
−
c
2
b
{\displaystyle v={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}}
az A egyenletbe. Ezzel
A
=
2
π
c
2
+
2
π
a
b
∫
0
1
1
−
u
2
v
2
x
2
1
−
u
2
x
2
1
−
v
2
x
2
d
x
.
{\displaystyle A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.}
Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:
A
≈
4
π
(
(
a
b
)
1.6
+
(
a
c
)
1.6
+
(
b
c
)
1.6
3
)
0.625
.
{\displaystyle A\approx 4\pi \!\left({\frac {(ab)^{1.6}+(ac)^{1.6}+(bc)^{1.6}}{3}}\right)^{0.625}\,\!.}
Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.
Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol
(
c
→
0
)
{\displaystyle \left(c\to 0\right)}
2
π
a
b
{\displaystyle 2\pi ab}
a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.
A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne
szerkesztés
Legyen
a
≥
b
≥
c
{\displaystyle a\geq b\geq c}
ε
=
1
−
(
c
a
)
2
{\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
excentricitása .
Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne
a
=
b
>
c
{\displaystyle a=b>c}
A
=
2
π
a
2
(
1
+
(
c
a
)
2
arth
ε
ε
)
{\displaystyle A=2\pi a^{2}\left(1+\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\,{\frac {\operatorname {arth} \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right)}
és az orsószferoidé
a
>
b
=
c
{\displaystyle a>b=c}
A
=
2
π
c
2
(
1
+
a
c
arcsin
ε
ε
)
.
{\displaystyle A=2\pi c^{2}\left(1+{\frac {a}{c}}\,{\frac {\arcsin \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right).}
A szferoidok felszínképletének levezetése
szerkesztés
b = a, tehát k = 1, ebből
E
(
1
,
φ
)
=
∫
0
sin
φ
d
x
=
sin
φ
=
a
2
−
c
2
a
{\displaystyle E(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }\ \mathrm {d} x=\sin \varphi ={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}}
F
(
1
,
φ
)
=
∫
0
sin
φ
1
1
−
x
2
d
x
=
arth
(
sin
φ
)
=
arth
(
a
2
−
c
2
a
)
.
{\displaystyle F(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x=\operatorname {arth} (\sin \varphi )=\operatorname {arth} ({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}).}
Legendre egyenletébe helyettesítve:
A
=
2
π
c
2
+
2
π
a
a
2
−
c
2
(
c
2
arth
(
a
2
−
c
2
a
)
+
(
a
2
−
c
2
)
a
2
−
c
2
a
)
.
{\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi a}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\operatorname {arth} ({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})+(a^{2}-c^{2}){\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right).}
b = c, tehát k = 0, ebből
E
(
0
,
φ
)
=
F
(
0
,
φ
)
=
∫
0
sin
φ
1
1
−
x
2
d
x
=
arcsin
(
sin
φ
)
=
arcsin
(
a
2
−
c
2
a
)
.
{\displaystyle E(0,\varphi )=F(0,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin(\sin \varphi )=\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}).}
Legendre egyenletébe helyettesítve:
A
=
2
π
c
2
+
2
π
c
a
2
−
c
2
(
c
2
arcsin
(
a
2
−
c
2
a
)
+
(
a
2
−
c
2
)
arcsin
(
a
2
−
c
2
a
)
)
.
{\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi c}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})+(a^{2}-c^{2})\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})\right).}
Jelölje
β
{\displaystyle \beta \,\!}
+
λ
′
{\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!}
x
=
a
cos
(
β
)
cos
(
λ
)
;
|
y
=
b
cos
(
β
)
sin
(
λ
)
;
z
=
c
sin
(
β
)
;
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(\beta )\cos(\lambda );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos(\beta )\sin(\lambda );\\z&=c\,\sin(\beta );\end{aligned}}\,\!}
−
π
2
≤
β
≤
+
π
2
;
−
π
≤
λ
≤
+
π
;
|
{\displaystyle {\begin{matrix}-{\frac {\pi }{2}}\leq \beta \leq +{\frac {\pi }{2}};\quad -\pi \leq \lambda \leq +\pi ;\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!}
Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol
|
β
=
±
π
4
|
{\displaystyle \scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {\frac {\pi }{4}}}{\color {white}|}\,\!}
Gömbi koordinátákkal,
x
=
a
sin
(
ϕ
)
cos
(
θ
)
;
|
y
=
b
sin
(
ϕ
)
sin
(
θ
)
;
z
=
c
cos
(
ϕ
)
;
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\sin(\phi )\cos(\theta );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin(\phi )\sin(\theta );\\z&=c\,\cos(\phi );\end{aligned}}\,\!}
0
≤
θ
≤
2
π
;
0
≤
ϕ
≤
π
;
|
{\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq 2\pi ;\quad {0}\leq \phi \leq \pi ;\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!}
Lineáris transzformációk
szerkesztés
Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus , akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.
Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis , ami kör is lehet.
A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.
A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.[1]
