Főmenü megnyitása
Ellipszoid

A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben

,

ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.

Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.

A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.

Az ellipszoid térfogatát a

képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.

Tartalomjegyzék

FelszínSzerkesztés

Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:

Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy   legyen. Ekkor

  és  ,

így az integrálok

  és  

Ezzel a felszín

 

Helyettesítsük be most k-t,  -t,

  -t, és   -t

az A egyenletbe. Ezzel

 

Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:

 

Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.

Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol   a felszínképlet a  -hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.

A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíneSzerkesztés

Legyen   és legyen   az   egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.

Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne   (forgástengely = z-tengely)

 

és az orsószferoidé   (forgástengely = x-tengely)

 

A szferoidok felszínképletének levezetéseSzerkesztés

LencseszferoidSzerkesztés

b = a, tehát k = 1, ebből   és  

Legendre egyenletébe helyettesítve:

 

OrsószferoidSzerkesztés

b = c, tehát k = 0, ebből  

Legendre egyenletébe helyettesítve:

 

ParaméterezésSzerkesztés

Jelölje   a parametrikus szélességet, és   a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:

 
 

Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol  

Gömbi koordinátákkal,

 
 

Lineáris transzformációkSzerkesztés

Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.

Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.

A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.

Tojás alakSzerkesztés

A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.[1]

ForrásokSzerkesztés

  1. Egg Curves by Jürgen Köller.