Erlang-eloszlás

folytonos valószínűség-eloszlás

Az Erlang-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás. Az eloszlást Agner Krarup Erlang (1878–1929) dán matematikus fejlesztette ki, amikor azonos időben keletkező telefonhívásokat vizsgált a koppenhágai telefonközpontban. Ez a munka később kiterjedt a várakozási idők vizsgálatára, és ezzel elindult a sorbanállási elmélet kialakulása. Ezt az eloszlást sztochasztikus folyamatok, és biomatematikai problémák elemzésére is használják.

ÁttekintésSzerkesztés

Az eloszlás folytonos, értéke pozitív minden nullánál nagyobb valós számra, és két paraméterrel szokták jellemezni: az alakparaméterrel ( ), mely pozitív egész, és a gyakorisággal ( ), mely szintén pozitív valós szám. Az eloszlást néha az inverz gyakoriság paraméterrel is jellemzik ( ). Az eloszlás   független exponenciális változó összege   középértékkel. Ha az alakparaméter   =1, akkor az eloszlás exponenciális eloszlásra egyszerűsödik. Az Erlang-eloszlás a gamma-eloszlás olyan speciális esete, amelynél a   egész szám. A gamma eloszlásnál ez a paraméter nem csak egész lehet.

JellemzőkSzerkesztés

 
Sűrűségfüggvény
 
Kumulatív eloszlásfüggvény

SűrűségfüggvénySzerkesztés

 

 , az alakparaméter,  , a gyakoriság paraméter. Egy alternatív, de ekvivalens parametrizálás (gamma-eloszlás) a   skálaparamétert használja, mely a gyakoriság paraméter reciproka ( ):

 

Amikor  =2, akkor az eloszlás khi-négyzet eloszlássá egyszerűsödik 2k szabadságfokkal. Páros számú szabadságfok esetén ez az általános khi-négyzet eloszlás. A nevező faktoriális függvénye miatt az Erlang-eloszlás csak k, pozitív egész értékeire értelmezhető. A gamma-eloszlás kiterjeszti az Erlang-eloszlást k bármely valós értékére, a gamma-függvényt használva a faktoriális helyett.

Kumulatív eloszlásfüggvénySzerkesztés

 

ahol   az alsó inkomplett gamma-függvény. A kumulatív eloszlásfüggvény másik kifejezése:

 

Várakozási időkSzerkesztés

Átlagos gyakorisággal, függetlenül bekövetkező események a Poisson-folyamattal modellezhetők. k előfordulási gyakoriságú események közötti várakozási idők Erlang-eloszlásúak (egy adott időben előforduló események számát a Poisson-eloszlás írja le). Az Erlang-eloszlás, mely a bejövő hívások közötti időt méri, felhasználható a bejövő hívások várható időtartamának jellemzésére, így információ kapható a forgalmi terhelésről Erlang-egységben mérve. Ez felhasználható a csomagveszteség és késleltetések valószínűségének meghatározására is (Erlang B formula, Erlang C formula). Az Erlang B, és Erlang C formula ma is használatos call centerek forgalmi modellezésénél. Az Erlang B eloszlás felhasználható call centereknél a trönkök tervezésekor. Az Erlang C eloszlás arra használható, hogy a hívásoknak mennyit kell várni, míg kezelővel kerülhetnek kapcsolatba.

IrodalomSzerkesztés

  • Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory. (hely nélkül): . PHI Learning. 2009. ISBN 8120338448  

ForrásokSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés