Eukleidész-féle szám
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
Az Eukleidész-féle számok En = pn# + 1 alakú pozitív egész számok, ahol pn# az n-edik primoriális, tehát az első n prímszám szorzata.
Eukleidész bizonyítása
szerkesztésEukleidész több mint 2000 évvel ezelőtt bebizonyította: végtelen sok prímszám létezik. A bizonyításban fontos szerep jut az Eukleidész-féle számnak.
A matematikában prímszámnak (törzsszám) nevezik azokat a természetes számokat, amelyeknek csak két osztójuk van a természetes számok között (maga a szám és az 1). Eukleidész az Elemek IX. könyvében, a 20. tételben bizonyította, hogy a prímszámoknak nincs határa.
Eukleidész-féle számot úgy kapunk, hogy veszünk egy prímszámot, ez legyen P.
Összeszorozzuk egymással a P-nél nem nagyobb prímszámokat, és a szorzathoz még hozzáadunk 1-et. Képlettel, egy Eukleidész-féle szám, N:
Ha például a P=13 prímszámot vesszük, akkor az ahhoz tartozó Eukleidész-féle N szám nem prím, hanem összetett szám:
Az Eukleidész-féle számok között igen ritka a prímszám, a következő, az N=2 000 560 490 131, a P=31 értékhez tartozik. A rá következőt csak a P=379 számnál kapjuk….
A bizonyítás menete:
Vegyünk egy tetszőleges P prímszámot.
Azt szeretnénk bizonyítani, hogy P után is van még prímszám. Az Eukleidész-féle szám, N:
vagy prím, vagy nem prím, hiszen nem ismerjük a P értékét. Ha N prímszám, akkor máris akadt P-nél nagyobb prím, hiszen N nyilván nagyobb P-nél. De akkor sincs veszve semmi, ha N összetett szám volna. Ha ugyanis N-et elosztjuk 2-vel, 3-mal, 5-tel, 7-tel, ….P-vel, mindig marad 1, vagyis ezek a prímek nem osztói az N-nek.
Az aritmetika alaptételéből tudható, hogy N-nek osztható kell lennie valamilyen prímszámmal, és mivel ez az osztó prímszám nem 2, nem 3, nem 7,…nem P, ezért nagyobbnak kell lennie P-nél. Ez lesz tehát az általunk keresett, P-nél nagyobb prímszám.
Ezzel tehát bebizonyítottuk, hogy bármely P prímszámnál van nagyobb prímszám---vagyis a prímszámok sorozata végtelen!.
Irodalom
szerkesztés- Tony Crilly: Nagy Kérdések, Matematika. (hely nélkül): Geographia Kiadó. 2007.