Exponenciális eloszlás

Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ – vagy rövidebben exponenciális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

ahol λ > 0.

Az exponenciális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t)=\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$

Az exponenciális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\mathbf {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}$

Szórása

$\mathbf {D} (X)={\frac {1}{\lambda }}$

Momentumai

$\mathbf {E} (X^{k})={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}$

Ferdesége

$\beta _{1}(X)=2\,$

Lapultsága

$\beta _{2}(X)=6\,$

Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X₁, X₂, … X_n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ + … + X_n n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
• Az exponenciális eloszlás rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, vagyis tetszőleges $x$ és $\Delta x>0$ esetén teljesül, hogy:

$P\left(X\geq x+\Delta x\ |\ X\geq x\right)=P\left(X\geq \Delta x\right)$

Megjegyzés

Van, hogy exponenciális eloszlás alatt a valószínűségi eloszlások egy szélesebb csoportját értik. Ilyenkor bármilyen a ∈ R értékre X + a -t is exponenciális eloszlásúnak definiálják, ahol X egy, a fenti értelemben vett exponenciális eloszlású valószínűségi változó. (Lényegében a valós számmal való eltolásra nézve zárttá teszik az exponenciális eloszlások halmazát.)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.