Feltételes várható érték

A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó feltételes várható értéke a várható érték, feltéve, hogy bekövetkezik egy adott esemény. Ha véges sok kimenetel lehetséges, akkor ez azt jelenti, hogy csak bizonyos értékeket vehet fel. Formálisabban, az esemény és komplementere particionálja a valószínűségi mezőt.

Több valószínűségi változó esetén, egy valószínűségi változó várható értékben független egyenként vagy együttesen akkor és csak akkor, ha a feltételes várható értéke megegyezik a feltétel nélküli várható értékkel.

A feltételes várható érték szintén valószínűségi változó, de elemi esemény mint feltétel esetén elfajult eloszlású, vagyis konstans.

A fogalom általánosítható minden valószínűségi mezőre a mértékelmélet felhasználásával.

A modern valószínűségszámításban a feltételes valószínűség definiálására használják.

PéldákSzerkesztés

1. példa: Tekintsünk egy szabályos dobókockát! Legyen az A esemény az, hogy páros számot dobunk, tehát a kimenetel 2, 4, vagy 6; a B esemény az, hogy az eredmény prímszám, azaz 2, 3 vagy 5. A táblázatban az esemény bekövetkeztét 1, be nem következését 0 jelöli.

1 2 3 4 5 6
A 0 1 0 1 0 1
B 0 1 1 0 1 0

Az A esemény feltétel nélküli várható értéke  . Az A feltéve B (jelben A|B) esemény várható értéke  , míg   a B komplementer eseményén. Hasonlóan, E(B|A) értéke  , és  .

2. példa: Tegyük fel, hogy van egy 10 éves adatsor az időjárásról! Ekkor meg lehet nézni az átlagos napi csapadékmennyiséget (tapasztalati feltétlen várható érték), az év egy szakaszában számított átlagos napi csapadékmennyiséget vagy az év egy bizonyos napjára jutó napi csapadékmennyiséget (tapasztalati feltételes várható értékek). A feltétlen esethez 3652 napi átlagot, március hónaphoz 310 napi átlagot, március 2-ához 10 napi átlagot kell figyelembe venni.

Klasszikus definícióSzerkesztés

Eseményre vett feltételes várható értékSzerkesztés

A klasszikus valószínűségszámításban egy   valószínűségi változó feltéve egy   esemény   átlaga   összes kimenetelére, azaz

 

ahol   a v elemszáma.   lehet az, hogy egy másik   valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, azaz  .

A fenti összeg csoportosítható   értékei szerint, vagyis  -en összegzünk, ami   lehetséges kimeneteleinek halmaza:

 

Általában, ha a   esemény valószínűsége pozitív, akkor hasonló formula teljesül. Külön figyelmet kap az a speciális lehetőség, ha a   azt jelzi, hogy egy másik   valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, azaz  . Legyen   valószínűségi mező,   valószínűségi változó ezen, és legyen  . Ekkor   feltételes várható értéke feltéve, hogy  , nem más, mint

 

ahol   az   lehetséges kimenetelei, és   a valószínűségi mérték, és minden   mérhető halmazra     feltételes valószínűsége feltéve  .

Ha   és   egy   esemény, akkor a fenti definíció nem terjeszthető ki, habár más számítási módszerekkel egy érték kiszámítható. A Borel–Kolmogorov-paradoxon mutatja, hogy a feltételes valószínűség, így a feltételes várható érték nem határozható meg a definíció alapján. A megoldás a σ-algebrára és a valószínűségi változóra való kiterjesztés, amiből egy olyan definíció adódik, amivel ekkor is meghatározható a feltételes várható érték.

Valószínűségi változóra vett feltételes várható értékSzerkesztés

Ha Y diszkrét valószínűségi változó ugyanazon az   valószínűségi mezőn, mint X, és lehetséges kimenetelei  , akkor X feltételes várható értéke feltéve Y egy   valószínűségi változó  -on, melynek definíciója

 

Egy kapcsolódó  -ből  -ba menő függvény definíciója

 

Ez a függvény az X valószínűségi változó feltételes várható értéke az Y által generált σ-algebrára. A két függvény kapcsolata

 

Ahogy fentebb említettük, ha Y folytonos valószínűségi változó, akkor nem lehet definiálni  -et ezen a módon. A Borel–Kolmogorov-paradoxon szerint meg kell határozni, hogy mely korlátozó procedúra hozza létre az Y = y egyenlőséget. Ha az   eseménytérnek van távolságfüggvénye, akkor eljárhatunk a következőképpen. Feltéve, hogy minden   P-mérhető és   minden   esetén. Ekkor az   szerinti feltételes várható érték jóldefiniált. Az   korláttal a nullához tartva definiálhatjuk, hogy

 

A korlátozó folyamatot a Radon–Nikodym-deriválttal helyettesítve egy általánosabb analóg definícióhoz jutunk.

Formális definícióSzerkesztés

Feltételes várható érték rész-σ-algebráraSzerkesztés

 
σ-algebrára vett feltételes várható érték: ebben a példában az   valószínűségi mező az [0,1] intervallum a Lebesgue-mértékkel. Definiáljuk a következő σ-algebrákat:  ;   az a σ-algebra, amit a 0, ¼, ½, ¾, 1 végpontú intervallumok generálnak; és   a 0, ½, 1 végpontú intervallumok által generált σ-algebra. Itt a feltételes várható érték éppen a σ-algebra minimális halmazaira számított átlag

Tekintsük a következőket:

  •   valószínűségi mező.
  •   valószínűségi változó ezen a valószínűségi mezőn, és várható értéke véges.
  •   egy al-σ-algebrája -nek.

Mivel   részalgebrája  -nek, azért az   függvény nem feltétlenül  -mérhető. Ezért nem biztosított az   integrál létezése, ahol   és     leszűkítése  -ra. Azonban a lokális   átlagok meghatározhatók  -ban, a feltételes várható érték használatával. X feltételes várható értéke adott  -ra, amit   jelöl, egy  -mérhető   függvény, ami minden   esetén teljesíti azt, hogy

 [1]

  létezése könnyen megmutatható, ha észrevesszük, hogy   véges mérték  -n, ha  , ami abszolút folytonos  -re. Ha   a természetes beágyazása  -nak  -be, akkor     leszűkítése  -ra, és     leszűkítése  -ra. Továbbá,   abszolút folytonos  -re, hiszen abból, hogy

 

következik, hogy

 

Tehát

 

ahol a deriváltak Radon–Nikodym-deriváltak.

Feltételes várható érték valószínűségi változóraSzerkesztés

A fentiek mellett legyen még:

  •   mérhető tér,
  •   valószínűségi változó.

Legyen    -mérhető függvény úgy, hogy minden    -mérhető függvényre

 

Ekkor a   valószínűségi változó X feltételes várható értéke egy adott   valószínűségi változóra. Jelölése:  .

Ez a definíció ekvivalens   al- -terére, amit Σ Y szerinti ősképe definiál. Hogyha definiáljuk, hogy

 

akkor

 .

DiszkusszióSzerkesztés

  • A definíció nem konstruktív, csak megadtuk a szükséges tulajdonságot, aminek a feltételes várható értéknek meg kell felelnie.
  • Az   definíciója hasonlít a   definícióra egy   eseménnyel, azonban ezek nem ugyanazok. Az előbbi egy  -mérhető  -függvény, az utóbbi   egy eleme. Az előbb kiértékelése  -n az utóbbit adja.
  • A követelmények nem garantálják a feltételes várható értéket. Létezésére a Radon–Nikodym-tétel ad kritériumokat. Egy elégséges feltétel, hogy X várható értéke létezik.
  • Az egyértelműség majdnem biztos: A különböző feltételes várható értékek csak nulla valószínűségű halmazban különböznek.
  • A   σ-algebra jellemzi a feltételezés szemcsézettségét. Egy nagyobb (finomabb)   σ-algebra fölött több esemény valószínűségét őrzi meg. Egy szűkebb (durvább) σ-algebra több eseményt átlagol.

KiszámításaSzerkesztés

Ha X és Y diszkrét valószínűségi változó, akkor X feltételes várható értéke az Y = y eseményre tekinthető y függvényének Y lehetséges kimeneteleinek halmazán:

 

ahol   az X lehetséges kimeneteleinek halmaza.

Ha X folytonos, viszont Y diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az Y = y eseményre

 

ahol  , és fX,Y(x, y) az X és Y közös tömegfüggvénye.

Ha X és Y folytonos valószínűségi változó, akkor X feltételes várható értéke az Y = y eseményre

 

ahol   és fY(y) az Y sűrűségfüggvénye.

TulajdonságokSzerkesztés

Az alábbi tulajdonságok majdnem biztosak, és a   σ-algebra helyett mindenütt vehető   valószínűségi változó.

Alapvető tulajdonságokSzerkesztés

Linearitás:

  és
 , ha  .

Pozitivitás: ha  , akkor  .

Monotonitás: Ha  , akkor  .

Ha    -mérhető, akkor  .

Ha Z valószínűségi változó, akkor  .

Teljes várható érték tétele:  .

FüggetlenségSzerkesztés

Ha   független  -tól, akkor  .

Ugyanis, ha  , akkor   független  -től, így

 

Tehát a definíciónak megfelel egy   konstans valószínűségi változó, ahogy azt akartuk.

Ha   független  -tól, akkor  . Ez nem feltétlenül teljesül, ha   csak  -tól vagy  -tól független.

Ha   független, és   független, továbbá   és   független és   és   független, akkor  .

Doob-féle feltételes függetlenségi tulajdonság:[2] Ha   feltételesen független egy adott  -re, akkor   (vagy ekvivalensen,  ).

StabilitásSzerkesztés

Ha    -mérhető, akkor  .

Ha Z valószínűségi változó,  . Más alakban,  .

Torony tulajdonságSzerkesztés

A   rész-σ-algebrákra  .

Speciális esetben, ha Z  -mérhető valószínűségi változó, akkor  , így  .

Doob-féle martingál tulajdonság: Legyenek, mint előbb, és legyen  , ami  -mérhető, ekkor   felhasználásával  .

Ha   valószínűségi változó, akkor  .

Ha   valószínűségi változó, akkor  .

KonvergenciaSzerkesztés

Monoton konvergencia tétele: Ha  , akkor  .

Dominált konvergencia: Ha   és  , ahol  , akkor  .

Fatou-lemma: Ha  , akkor  .

Martingál konvergencia tétele: Ha   valószínűségi változó véges várható értékkel, akkor  , ha   rész-σ-algebrák növekvő sorozata és   vagy ha   rész-σ-algebrák csökkenő sorozata és  .

Jensen-egyenlőtlenségSzerkesztés

A Jensen-egyenlőtlenség szerint, ha   konvex függvény, akkor  .

ProjekcióSzerkesztés

A feltételes operátor kontrakciós vetülete az  . Lp-tereknek. Vagyis,   minden p ≥ 1-re.

A feltételes várható érték mint  -projekció: Ha   a négyzetesen integrálható valós valószínűségi változók terének Hilbert-terének eleme, azaz második momentuma véges, akkor:

az   leképezés önadjungált,  

ha    -mérhető, akkor  , vagyis az   feltételes várható érték az L2(P) szerinti értelemben az   ortogonális projekciója mint skaláris szorzat a  -mérhető függvények alterében. Emiatt használható a Hilbert-féle projekciótétel alapján definiálható és bizonyítható a feltételes várható érték.

SzámításokSzerkesztés

Az   valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy   esemény bekövetkezik.

Legyen   valószínűségi mező,   valószínűségi változó és   esemény, ha  , akkor  .

A definíció értelmezése a feltételes valószínűség alapján:  , ahol a feltételes valószínűség definíciója szerint  , a várható értékben lévő valószínűségre alkalmazva  , tehát ez a valószínűség csak akkor nem 0, ha  .

Ezért csak az   eseményen integrálunk, viszont   esetén   és a mérték szerinti integrál definíciója szerint  . Ezt alkalmazva  .

A feltételes várható érték tulajdonságai: lineáris:   ha  , akkor  .

Az   valószínűségi változó várható értékét akarjuk kiszámolni, amennyiben tudjuk, hogy egy    -algebrában lévő események bekövetkeznek.

Legyen   valószínűségi mező,   valószínűségi változó és    -algebra, ha   ekkor létezik olyan   valószínűségi változó, amely   mérhető és minden   esemény esetén  .

Feltételes szórásSzerkesztés

A feltételes várható érték segítségével definiálható feltételes szórás is. A képletekben szórás helyett szórásnégyzet szerepel:

Definíció:  

Algebrai képlet:  

Teljes szórás tétele:  .

TörténeteSzerkesztés

A feltételes valószínűség fogalmát Laplace vezette be, aki feltételes eloszlásokat számított. Andrej Kolmogorov 1933-ban formalizálta a Radon–Nikodym-tétellel.[3]Halmos Pál[4] és Joseph L. Doob[1][5] 1953-ban általánosította a ma is használt fogalmat al-σ-algebrákkal.[6]

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Billingsley, Patrick. Probability and Measure, 3rd, John Wiley & Sons, 445. o. (1995). ISBN 0-471-00710-2 
  2. Kallenberg, Olav. Foundations of Modern Probability, 2nd, York, PA, USA: Springer, 110. o. (2001). ISBN 0-387-95313-2 
  3. Kolmogorov, Andrey. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (German nyelven). Berlin: Julius Springer, 46. o. (1933) 
  4. Oxtoby, J. C. (1953). „Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1), 89–91. o. DOI:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8.  
  5. J. L. Doob. Stochastic Processes. John Wiley & Sons (1953). ISBN 0-471-52369-0 
  6. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. edition. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 573.

ForrásokSzerkesztés

  • William Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol 1, 1950, page 223
  • Paul A. Meyer, Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co., 1966, page 28
  • Probability and Random Processes, 3rd, Oxford University Press (2001). ISBN 0-19-857222-0 , pages 67–69

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Conditional expectation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.