Feuerbach-kör

A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű. Ezek:

• a háromszög oldalfelező pontjai,
• a háromszög magasságainak talppontjai,
• a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.

A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.

A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.

Bizonyítás:

A három csúcs szerepének egyenrangúsága miatt elég, ha a tételben említett háromfajta pont közül egy-egyre bizonyítjuk. Kell, hogy $F_{c}$, $T_{c}$, $M_{3}$ az $OM$ szakasz $K$ felezőpontjától ${\frac {r}{2}}$ távolságra vannak, ahol $r$ a körülírt kör sugarát jelenti.

${\vec {k}}={\frac {\vec {m}}{2}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{2}}$; ${\vec {F_{c}}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}$; ${\vec {KF_{c}}}={\vec {F_{c}}}-{\vec {k}}=-{\frac {\vec {c}}{2}}\longrightarrow {\vec {KF_{c}}}={\frac {r}{2}}$, azaz $|{\vec {c}}|=r$.

$MC$ szakasz $M_{3}$ felezőpontjának ${\vec {m_{3}}}={\frac {{\vec {m}}+{\vec {c}}}{2}}={\vec {k}}+{\frac {\vec {c}}{2}}$ helyvektora $\longrightarrow |{\vec {KM_{3}}}|={\frac {r}{2}}$.

Kell, hogy $F_{c}$, $M_{3}$ szakasz a $K$ körül ${\frac {r}{2}}$ sugárral írt kör átmérője, hiszen ${\vec {KF_{c}}}$ és ${\vec {KM_{3}}}$ csak előjelben különbözik. A Thalész-tétel miatt a $C$-ből húzott magasság $T_{c}$ talppontja is ugyanazon a körön van, hiszen e pontból ($F_{c}\neq T_{c}$) az $F_{c}\ M_{3}$ szakasz derékszög alatt látszik.

Nevezetes pontok

1. ábra

A fenti ábra az ABC háromszög Feuerbach-körének kilenc nevezetes pontját mutatja (piros szín). A Feuerbach-kör középpontja az M magasságpont és az O körülírható kör középpontját összekötő szakasz felezéspontja (K). A kör sugara a körülírható kör sugarának fele. (Az MO szakasz pedig az Euler-egyenesbe esik.) A kör ívén elhelyezkedő kilenc nevezetes pont: F_a, F_b és F_c a háromszög oldalainak felezéspontjai, T_a, T_b és T_c a háromszög magasságvonalainak talppontjai, M₁, M₂ és M₃ pedig a rendre a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezéspontjai.

Érintő körök

1822-ben Karl Feuerbach felfedezte, hogy bármely háromszög kilenc pont köre kívülről érinti a háromszög hozzáírt köreit és a beírt kört is érinti, ezt szokták Feuerbach-tételnek nevezni. Azt állította:

…a kör ami keresztülmegy a háromszög magasságainak talppontjain érinti mind a négy kört, amik a háromszög oldalait érintik…

A következő kép illusztrálja az állítást.

2. ábra

A pontot, ahol a beírt kör és a kilenc pont köre érintkeznek, Feuerbach-pontnak is szokás hívni, ami persze szabályos háromszögben definiálatlan, hiszen ekkor e két kör egybeesik.

Egyéb érdekes tények

• A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög körülírt körének sugara.

3. ábra

• A háromszög körülírt körének bármely pontját a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja rajta van a Feuerbach-körön.

4. ábra

• A Feuerbach-kör középpontja rajta van a háromszög Euler-egyenesén, és éppen felezi a háromszög magasságpontja és a körülírt kör középpontja közötti szakaszt.
• Egy ortocentrikus pontnégyesből megalkotható mind a négy háromszögnek ugyanaz a Feuerbach-köre.
• A beírt kör és a hozzáírt körök középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak. A pontnégyeshez tartozó Feuerbach-kör éppen az eredeti háromszög körülírt köre. Az ortocentrikus pontnégyes által meghatározott háromszög magasságtalppontjai éppen az eredeti háromszög csúcspontjai.
• Ha a háromszög derékszögű, akkor az átfogóhoz tartozó súlyvonal a Feuerbach-kör egyik átmérője.

Felfedezése

Bár Karl Wilhelm Feuerbachnak tulajdonítják a felfedezését, valójában még csak nem is ő fedezte fel a maga teljességében a kilenc pont körét. Feuerbach megtalálta a hat pont körét, felismerte a háromszög oldalfelező pontjainak és a magasságok talppontjainak a jelentőségét (az első ábrán az F_a, F_b, F_c, T_a, T_b és T_c pontok.) (Valamivel korábban Charles Brianchon és Jean-Victor Poncelet kimondta és bebizonyította ugyanazt a tételt.) Nem sokkal Feuerbach után, Olry Terquem bizonyította a kör létezését. Ő volt az első, aki felismerte a jelentőségét a másik három pontnak, azaz a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjainak. (az első ábrán az M₁, M₂ és M₃ pontok.) Így Terquem volt az, aki a kilenc pont köre kifejezést először használta.

Külső hivatkozások

• KöMaL: A Feuerbach-kör érinti az érintő köröket Archiválva 2006. július 21-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Nine Point Center by Antonio Gutiérrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• History about the nine-point circle based on J.S. MacCay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
• Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
• Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
• Special lines and circles in a triangle (requires Java)