Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformáció egy függvényen elvégzett integráltranszformáció.

A Joseph Fourier által bevezetett, és ezért róla elnevezett Fourier-transzformáció a jelfeldolgozás hasznos eszköze. Alkalmazásával a vizsgált jel különböző tulajdonságainak elemzésére van lehetőség, ezért rendkívül sok területen alkalmazzák. Többek között a tudományos kutatásokban, a fizikában az időtérbeli jelek frekvenciaanalízisében, a spektroszkópiákban, a mérnöki alkalmazásokban az irányítás-, szabályozástechnikában.

A digitális jelfeldolgozás gyakran alkalmazott módszere a diszkrét Fourier-transzformáció (DFT). A gyakorlatban a sok lépést igénylő számítási feladatokban a gyors Fourier-transzformációt (Fast Fourier Transform, FFT) alkalmazzák.

Egy függvény Fourier-transzformáltjára az alkalmazási területnek megfelelően a különböző szakirodalmakban többféle jelöléssel lehet találkozni, úgy, mint például:

Bár a jelölésrendszer különbözik, a transzformáció jelentése azonos a különböző területeken.

Fourier-sorokSzerkesztés

A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:

 

ahol   az alapfrekvencia, a periódus reciproka.

  • A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
  • Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
  • A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az   korlátos változású függvény Fourier-sora minden   pontban  -beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart.
  • A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz-Fischer-tétel közvetlen következménye.

Folytonos függvény Fourier-transzformáltjaSzerkesztés

A Fourier-transzformációt a periodikus függvényekre értelmezhető Fourier-sorok alapján, annak nem periodikus függvényekre érvényes általánosításával lehet bevezetni. Egy integrálható   függvény Fourier transzformáltja a következő:

 

TulajdonságaiSzerkesztés

Vezessük be a következő műveleteket:

  transzláció
  moduláció
  dilatáció

Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:

 
 
 

Jelölje   a konvolúciót. Ekkor

 

Legyen   és jelölje   deriváltját  . Ha   és   is integrálható, akkor   mindenütt differenciálható, és

 
 

A Fourier-transzformáció invertálható:

 

PéldákSzerkesztés

  • Háromszögjel:
 
A háromszögjel különböző közelítései

A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben   jelöli az amplitúdót:

 
 
  • Négyszögjel:
 
A négyszögjel különböző közelítései

Hasonlóan a négyszögjel:

 
 
  • Fűrészfogjel: (növekvő)
 
A fűrészfogjel különböző közelítései

Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:

 
  • Szinuszjel:
 
A szinuszjel abszolút értékének különböző közelítései
 

Diszkrét Fourier-transzformációSzerkesztés

A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:

 

Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges. Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.

Gyors Fourier-transzformációSzerkesztés

A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez   egyenközű mintavétel szükséges, ahol  . Műveletigénye  . A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.

A sor:

 

ahol

 

AlgoritmusSzerkesztés

A gyors Fourier-transzformáció egy rekurzív algoritmus, ami az Oszd meg és uralkodj! elvén működik.

Legelőször is idézzük fel, hogy a   pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:

 

Legyenek a páros indexű együtthatók

 

és ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

 ;

hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat

 

és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

 .

Ekkor:

 

PszeudokódSzerkesztés

Az algoritmus pszeudokódja:

 

 
 
 
 
 
 
 
 

AlkalmazásokSzerkesztés

A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van:

  • a valószínűségszámítás, statisztika elméletében
  • a jelfeldolgozásban
  • a hang- és videotechnikában
  • a rezgésanalízisben
  • analóg áramkörök leírásában
  • spektrométerekben
  • differenciálegyenletek megoldásában
  • távközlő rendszerekben
  • az interferometrikus távcsövek (pl. ALMA) jelfeldolgozásában

ForrásokSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés