Frattini-részcsoport

A csoportelméletben Frattini-részcsoport a neve egy csoport maximális részcsoportjai metszetének. A csoport Frattini-részcsoportját hagyományosan -vel jelöljük. Ezt a részcsoportot Giovanni Frattini olasz matematikus definiálta először 1885-ben egy a témával foglalkozó cikkben.[1] A kommutatív gyűrűk Jacobson-radikáljának analógja.

DefinícióSzerkesztés

Egy   csoport   valódi részcsoportját maximális részcsoportnak nevezzük, ha nincs  -ben olyan   részcsoport, hogy  . Jelölje   az összes   maximális részcsoport   metszetét. Akkor  , mint részcsoportok metszete, maga is részcsoport, és ezt nevezzük   Frattini-részcsoportjának.[2][3]

PéldákSzerkesztés

 -nek, a 49 elemű ciklikus csoportnak a hetedrendű elemek által generált   csoport a Frattini-részcsoportja, hiszen ebben a csoportban csak ez az egy maximális részcsoport van.

A Klein-csoportban három maximális részcsoport van; ezek mindhárman kételeműek, és így metszetük csak a triviális csoport lehet. A Klein-csoport Frattini-részcsoportja tehát az egyelemű csoport.

Az egész számok additív csoportjában tetszőleges   prímszámra maximális részcsoportot alkotnak   többszörösei. Ezek metszete egyelemű (csak a 0-t tartalmazza), így ennek a csoportnak is triviális a Frattini-részcsoportja.

TulajdonságaiSzerkesztés

Mivel az automorfizmusok a maximális részcsoportokat maximális részcsoportokba viszik, a Frattini-részcsoportot magát helyben hagyják, és így   karakterisztikus részcsoportja  -nek, és így persze   normálosztó is.[2]

Ha   véges, akkor   nilpotens csoport.[3]

A   véges p-csoport Frattini-csoportja megkapható a p-edik hatványok részcsoportjának és a kommutátor-részcsoportnak a komplexusszorzataként.[4]

Ha egy véges csoport Frattini-részcsoportja triviális, akkor a csoport centrumának az indexe legfeljebb akkora, mint a kommutátor-részcsoport rendjének a négyzete.[5]

Nyitott kérdés, hogy két csoport direkt szorzatának Frattini-részcsoportja megegyezik-e a Frattini-részcsoportjaik direkt szorzatával.[2]

NemgenerátorokSzerkesztés

A   csoport   részhalmaza generátorhalmaz, ha   minden eleme előáll   elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. Valamely   elemet nemgenerátornak hívunk, ha minden  -et tartalmazó   generátorhalmaz az   elem nélkül is generálja a csoportot. Az egységelem például minden csoportban nemgenerátor. Egy csoport nemgenerátorai maguk is csoportot alkotnak, és ez a csoport éppen a Frattini-részcsoport.

ForrásokSzerkesztés

  1. Frattini, Giovanni (1885). „Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni”. Rendiconti dell'Accademia dei Lincei 4 (1), 281-5, 455-7. o.  
  2. a b c Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
  3. a b Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7 
  4. BZ Ádám a csoportalgebrákról[halott link]
  5. Archivált másolat. [2007. július 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. január 22.)