Főmenü megnyitása
A Γ-függvény grafikonja a valós számegyenes mentén

A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

Mivel az nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)!, azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.

A faktoriálisnak léteznek más általánosításai is, de ez a legnépszerűbb és a legtöbb területen használt. A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-féle t-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

TulajdonságaiSzerkesztés

  • A Gauss-féle definíció:
 
  • A Weierstrass-féle szorzatalak:
 

ahol γ az Euler-állandó.

  • A Gauss-féle sokszorozási formula:
 
  • Ha x nem egész szám, akkor
 

Speciálisan  .

  • A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három feltételt:
 
 
  konvex a valós egyenes (0, +∞) és a [(–k, –k+1), k pozitív egész] intervallumain.[1]
 

AszimptotikákSzerkesztés

A gamma-függvényt nagy   értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

 

illetve

 

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

 

Hányados aszimptotikus előállítása:

 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Importance of Log Convexity of the Gamma Function

ForrásokSzerkesztés

  • Fazekas F. – Frey T.: Operátorszámítás, speciális függvények (Tankönyvkiadó, 1965)
  • Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)

További információkSzerkesztés

Faktoriális algoritmusok
Faktoriális közelítései
Számológépek a faktoriálishoz

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés