Főmenü megnyitása

Egy Ω halmaz feletti AP(Ω) halmazcsalád[1] által generált σ-algebra az a (⊆ részhalmaz-relációra nézve) legszűkebb, Ω feletti σ-algebra, amely tartalmazza A minden tagját elemként. E fogalom igen jelentős a σ-algebrák elméletében, s ezáltal a valószínűségszámításban és mértékelméletben.

Tartalomjegyzék

Formális definícióSzerkesztés

Egy Ω halmaz feletti G halmazcsalád által generált Ω feletti σ(G) σ-algebrának tehát a következő követelményeket kell teljesíteni:

  1. σ(G) σ-algebra legyen;
  2. G⊆σ(G)
  3. Ha HP(Ω) az Ω egy olyan halmazcsaládja, amelyre teljesül 1. és 2., akkor σ(G)⊆H

A generált σ-algebrák létezése és konstrukciójaSzerkesztés

A burok-előállításSzerkesztés

Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és RP(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(R) σ-algebra, amelynek R minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó σ-algebrának a részhalmaza.

Bizonyítás: Olyan σ-algebra, amely tartalmazza R elemeit, létezik, például a P(Ω) teljes σ-algebra. Az R összes elemét tartalmazó Ω feletti σ-algebrák D halmaza tehát nem üres. Ezért képezhetjük a halmazrendszer-metszetét, legyen ez ∩D. Ez is tartalmazni fogja az R összes elemét a konstrukciója folytán (egy halmazrendszer minden elemének részhalmaza a rendszer metszetének is részhalmaza). ∩D σ-algebra lesz. Minthogy halmazalgebrák családjának metszete, azért maga is halmazalgebra,[2] elegendő csak azt belátni, hogy zárt a megszámlálható unióképzésre. Valóban, legyen tetszőleges halmazsorozata A0, A1, …, An, … ∈∩D, ekkor minden i∈N-re és minden S∈D-re A1S volt , ezért – lévén az S-ek σ-algebrák, unió-zártak tehát –   eleme volt minden S-nek, tehát eleme lesz metszetüknek, ∩D-nek. Összefoglalva, ∩D egy megfelelő σ-algebra. Most már csak azt kell belátni, hogy a legszűkebb; ami szintén igaz, mert bármely, az R-t részhalmazként tartalmazó W σ-algebrának a részhalmaza lesz. Hiszen W∈D a D definíciója szerint (D épp az R-tartalmazó σ-algebrák halmaza), ezért érvényes ∩D = W∩(∩(D\{W})⊆W (vagyis D metszetét úgy állítottuk elő, hogy kivettük belőle W-t, képeztük a maradék rendszer metszetét, majd ezt metszettük W-vel), hiszen tetszőleges A,B halmazokra A∩B⊆A. ■ QED.

A transzfinit konstrukcióSzerkesztés

Legyen Ω tetszőleges halmaz, és RP(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Legyen továbbá tetszőleges RP(Ω) halmazcsalád esetén

c(R) := {X∈P(Ω) | Ω\X = RR};[3]
u(R) := { Z∈P(Ω) | (∃AP(P(Ω)) :( Z=∪(A) ∧ |A|≤χ0 ) }.[4]

Definiáljuk a következő halmazokat:

  • σ0 := R;
  • σ1(R) := {R}∪{c(R)} ∪ { u({R}∪{c(R)}) };

Vagyis ez utóbbi az R-ből és elemei komplementereiből összeunionálható összes halmaz halmaza. Hasonlóan:

  • σ2(R) := {σ1(R)}∪{c(σ1(R))} ∪ { u({σ1(R)}∪{c(σ1(R))}) };

Továbbá, ha már definiáltuk σn(R)-t valamely n∈N természetes számra, akkor tovább a következőképp folytathatjuk:

  • σn+1(R) := {σn(R)}∪{c(σn(R))} ∪ { u({σn(R)}∪{c(σn(R))}) };

Ha R maga nem véges, akkor az   halmaz elemeit (azaz  ) általában nem a teljes R generálta σ-algebra, sőt általában maga nem is σ-algebra .

Hasonlóan folytathatjuk a konstrukciót tetszőleges rendszámra. Rákövetkező rendszámra az előzőleg konstruált σ-halmazt, ennek komplementereit tartalmazó rendszer unióját és ezen unió tagjai unióját képező rendszereket egyesítjük:

  • σr+1(R) := {σr(R)}∪{c(σr(R))} ∪ { u({σr(R)}∪{c(σr(R))}) };

Valamely β limesz-rendszámhoz érvén, viszont először egyesítjük az összes addig konstruált (tehát kisebb rendszámokhoz tartozó) σ-halmazt:

  •  

– ahol O[β] a β-nál szigorúan kisebb rendszámok halmaza (bár a rendszámok nem alkotnak halmazt, a kezdőszeletek igen) – és csak aztán egyesítjük az így kapott transzfinit uniót meg a komplementereinek halmazát meg az így kapott egyesítés elemeiből kapható egyesítések halmazát:[5]

  • σβ(R) := {σ(R)}∪{c(σ(R))} ∪ { u({σ(R)}∪{c(σ(R))}) };

A transzfinit indukció tétele biztosítja, hogy minden rendszámhoz egyértelműen tartozzon, jól definiált legyen egy-egy σ-halmaz. Ha van olyan rendszám, amelyhez olyan σ-halmaz tartozik, amely megegyezik a következő rendszámhoz tartozó σ-halmazzal, akkor van legkisebb ilyen r rendszám is. Nevezzük ezt „lezárási rendszámnak”. Ekkor σ(R) = σr(R), a konstrukció tkp. befejeződött.

Ilyen rendszám pedig mindenképp létezik. Ha nem, akkor az azt jelenti, hogy bármely q rendszámhoz tartozik egy olyan Sq∈σ(R) halmaz, ami egyetlen r-nél kisebb rendszámhoz tartozó σ-halmazban sincs benne. Valóban, egyrészt evidens, hogy ha r<q, akkor σr(R)⊆σq(R). Mármost a konstrukciót csak akkor van értelme folytatni, ha valódi tartalmazás is fennáll, hiszen ellenben már nem bővül σ-halmaz új uniókkal és komplementerekkel, tehát zárt a kívánt halmazműveletekre. Viszont ha valódi tartalmazás áll fenn, az épp azt jelenti, hogy a mondott tulajdonságú Sq halmaz létezik, azaz van olyan Sq, ami σq(R) eleme, de σr(R)-nek nem. Ekkor a fenti tartalmazási reláció miatt S egyik r-nél kisebb rendszámú σ-halmaznak sem eleme. Tehát tekintsük az összes Sq halmazt! Rendeljük hozzá mindegyikhez a hozzá tartozó rendszámot (Sq-hoz a q-t)! Így egy f hozzárendelést, ún. operációt kapunk. A pótlás axiómája miatt, amely szerint egy halmazon értelmezett operáció értékkészlete is halmaz, ha az Sq-k sokasága halmaz lenne, akkor a rendszámok sokasága is halmaz lenne, viszont ez utóbbi nem az. Ebből következően az Sq-k sokasága nem halmaz. Viszont mindegyik eleme a σ(R) halmaznak, tehát a sokaság egy halmaz részosztálya, ami halmaz kellene, hogy legyen (ez lényegében a részhalmaz-axióma következménye). Ez ellentmondás, amely ama feltételezésből következik egyenesen, hogy nem létezik lezárási rendszám. Az ellentmondás feloldása, hogy a feltételezés hamis, és mégiscsak létezik egy lezárási rendszám. ■ QED.

MotivációSzerkesztés

A fenti tétel – amely tkp. „konstruktív” abban a tág értelemben, hogy direkt módon előállít egy σ-algebrát halmazelméleti eszközökkel – mégis sajátosan „inkonstruktív” abban az értelemben, hogy szinte semmit nem mond a belső struktúráról, az elemek egymáshoz való viszonyáról; azaz magát a σ-algebrát „megkonstruálja”, de az elemeit nem. Ha általánosan, specializáció nélkül vizsgáljuk a σ-algebrákat, akkor meg is kell nyugodnunk ebben:

„Világosan kell látni, hogy a σ(G) halmazait a G-ből[6] általában közvetlenül nem tudjuk „előállítani”, vagyis nem tudjuk megmondani, hogy egy B∈σ(G) halmazműveletekkel miként áll elő G-beli elemekből. A generált σ-algebráról tudjuk, hogy van, de „belülről” nem tudjuk, pontosabban egyszerűen nem tudjuk, illetve ezért nem is akarjuk, felépíteni. […] Míg például a lineáris terek, vagy a konvex halmazok, vagy a topologikus terek esetén a generált struktúra igen egyszerűen, egy vagy két lépésben leírható a generáló halmazok segítségével, addig a generált mérhető halmazok struktúrája igen bonyolult, és miként alább jelezni fogjuk, csak transzfinit konstrukcióval állítható elő a kiinduló halmazokból. A generált σ-algebrához naivan közelítve úgy gondolhatnánk, hogy a G elemeiből képezett megszámlálható metszeteket, és ezek komplementereit elegendő venni. Lineáris terek esetén a generáló vektorok lineáris kombinációi már ki is adják a lineáris teret, vagy a topologikus térre, ha az alaphalmazt is hozzávesszük, elegendő venni a véges metszetekből képzett egyesítéseket. A generált σ-algebra esetében a helyzet jóval bonyolultabb, ugyanis a megszámlálható egyesítés és komplementer képzésből kapott halmazok nem adják ki a generált σ-algebrát.”

– Medvegyev Péter,
Valószínűségszámítás.
Aula Kiadó Kft., Budapest, 2002; I. köt. 27-29. o.

Emiatt, mely tulajdonság más struktúrákhoz (pl. a generált algebrai részstruktúrák) képest szokatlan jellemzője a σ-algebráknak, ad hoc általában már egy halmazalgebrát is nehéz elkészíteni, nemhogy egy erősebb követelményeket kívánó σ-algebrát; mondjuk ha veszünk néhány halmazt, és egy olyan algebrát akarunk, ami ezeket tartalmazza; különösen ha nem diszjunkt halmazokból indulunk ki, hiszen figyelni kell arra, hogy a tagok megszámlálható uniója, komplementere (ebből következően, a metszetük, különbségük) eleme legyen az algebrának – csakhogy erre nem is olyan könnyű „figyelni”, mert a szükséges műveletek túlhaladhatják a finit konstrukciók kereteit.

Ez az egyik ok, ami miatt nehéz „frappáns”, explicite konstruktív módon (pl. elemeinek „felsorolásával”), azaz másképp, mint a generálási tételre hivatkozva, definiálni egy-egy adott σ-algebrát. Bár egy adott σ-algebra esetén egy adott P(Ω)-beli részhalmazról általában könnyen eldönthető, mérhető-e vagy sem (pl. adott függvényről, hogy Riemann-Darboux- vagy Lebesgue-integrálható-e, vagy adott alakzatról, hogy van-e területe), mégis, általában igen nehéz jól kezelhető, karakterisztikus kritériumot adni annak eldöntésére, hogy mely részhalmazok mérhetőek. Ha már a sok tekintetben „legkézenfekvőbb”, legszűkebb σ-algebrák szerkezete is bonyolult, akkor logikusan még nehezebb általában a σ-algebrák elemeinek karakterizálása.

Összefoglalva, általában nem olyan könnyű megmondani, hogy egy néhány halmazból építeni kezdett σ-algebrának konkrétan mi az összes eleme, ennek ellenére mégis nyugodtan beszélhetünk olyan σ-algebráról, ami tartalmazza az általunk kiválasztott halmazokat, hiszen a generált σ-algebra mindig létezik.

További tételekSzerkesztés

Monotonitási tételSzerkesztés

⊆-monotonitás: A generátorrendszer bővítése a generátumot is bővíti, azaz:

Ha A és B az Ω feletti halmazrendszerek, és AB, akkor σ(A)⊆σ(B). Speciálisan, σ(A)⊆σ(AB), sőt, ha {Ai}i∈IIP(P(Ω)) az Ω feletti halmazrendszerek (v. hz.családok) egy tetszőleges családja, akkor   (bármely i∈I esetén- I valamilyen indexhalmaz).

Bizonyítás: σ(A) azon Ω feletti σ-algebrák metszete, melyeknek A részhalmaza, míg σ(B) azoké, melyeknek B a részhalmaza – de ekkor AB miatt mindegyik utóbbinak A is részhalmaza. Vagyis ha X∈σ(A), az pontosan azt jelenti, hogy X eleme minden, az A-t részként tartalmazó σ-algebrának; na de ilyenek azok is, amelyek B-t tartalmazzák részként, mert ezek B egy részét, A-t is tartalmazzák részként. Ergo, X eleme minden, a B-t részként tartalmazó σ-algebrának, vagyis a metszetüknek is, vagyis σ(B)-nek. ■ QED

LezárásSzerkesztés

Tétel: Definiáljuk tetszőleges Ω halmaz esetén a következő ψ függvényt:
ψ P(P(Ω))→P(P(Ω)); ψ(∅)=∅, ha X≠∅, ψ(X)=σ(X).
Ezzel az előírással ψ(X) egy lezárási operátor P(P(Ω))-n.[7]

Bizonyítás: 1). Definíció szerint ψ(∅)=∅; 2). X⊆σ(X), hiszen σ(X) def. szerint a legszűkebb σ-algebra, aminek az X része; 3. Az üreshalmazra ψ(ψ(∅))=ψ(∅)=∅, ha meg X≠∅, akkor ψ(ψ(X)) = σ(σ(X)) = σ(X) = ψ(X). Már az első egyenlőségnél is felhasználtuk, hogy σ(X)≠∅, ami valóban teljesül, hiszen egy σ-algebra sosem üres. ■ QED

A generált algebra a megszámlálható részcsaládok generátumai uniójaSzerkesztés

A következő (a fent vázolt probléma kezeléséhez vajmi kevés segítséget nyújtó) tétel egy halmazcsalád generálta σ-algebrát a megszámlálható részcsaládok által generált algebrák uniójaként állítja elő:

Tétel: ha G tetszőleges Ω feletti halmazcsalád, akkor a σ(G) generált σ-algebra megegyezik a G összes megszámlálható részcsaládjai által generált σ-algebrák egyesítésével, azaz:
 [8]

Bizonyítás: legyen a fenti képletben szereplő unióhalmaz röviden U! Többé-kevésbé nyilvánvaló, hogy a megszámlálható részcsaládok generátumai elemei a generált σ-algebrának (az unió-zártság miatt ezek uniója, meg azok komplementere is eleme a generált algebrának, tehát a generátumok összes eleme benne kell hogy legyen σ(G)-ben, tehát a generátumok U uniója része kell hogy legyen a generált σ-algebrának; azaz U⊆σ(G). Elegendő tehát belátni, hogy

  1. ezen unió tartalmazza a G összes elemét
  2. ezen unió maga is egy σ-algebra;

Ha az 1. és 2. igaz, akkor az U unió a G-t tartalmazó σ-algebra, és ekkor a σ(G) generált algebra mint az összes G-t tartalmazó σ-algebra metszete, automatikusan része U-nak: σ(G)⊆U, ezt a fentebbi U⊆σ(G) megállapítással összevetve, U=σ(G).

Az 1. részállítás bizonyítása: természetesen igaz, hiszen G megszámlálható részrendszereinek generátumai a G eme részrendszereinek minden elemét tartalmazzák (hiszen egy generált algebrában a generáló halmazok is benne vannak), és mivel az unió indexe az összes részrendszeren végigfut, ezért G minden eleme sorra kerül mint valamely megszámlálható generátorrendszer egy-egy tagja, összességében az unió G minden taghalmazát tartalmazza.

A 2. részállítás bizonyítása a komplementer- és uniózártság megmutatásával történik. Ha A∈P(Ω) eleme az U-nak, azaz eleme valamelyik generátumnak, akkor a komplementere is – mivel a generátumok mind σ-algebrák, tehát komplementum-zártak – tehát eleme az U uniónak. Tegyük fel továbbá, hogy {Ai}i∈N egy megszámlálható halmazcsalád U-ból, tehát mindegyik eleme valamelyik generátumnak, mondjuk az Ai-t tartalmazó generátum legyen Gi = σ{F1,i, F2,i, …}. Ekkor egy előző tétel miatt a generátumok generálórendszereinek egyesítése által generált σ-algebrának (legyen ez S) részhalmaza lesz az összes generátum, de mivel minden Ai meg eleme egy generátumnak, ezért eleme lesz S-nek is, azaz az {Ai}i∈N rendszer mint halmaz részhalmaza lesz S-nek – de mivel eme S σ-algebra, ezért zárt a megszámlálható {Ai}i∈N rendszer (megszámlálható sok tagú) egyesítésére, tehát ez utóbbi unió eleme lesz a generátorrendszerek uniója által generált algebrának.

Érthetőbben arról van szó, hogy tetszőleges i∈N-re

 ,

és innen

 ,

Mármost az a szerencse, hogy mindegyik generátorrendszer lf. megszámlálható volt, ezért ezek rendszerének egyesítése (azaz S generátorrendszere) is megszámlálható (lf. megszámlálható sok tagot tartalmazó Gi halmazok unióját képeztük, de a Gi-kből is csak megszámlálható volt, tehát megszámlálható sok lf. megszámlálható halmaz uniója – ami maga is megszámlálható – generálja S-t), tehát a generátorrendszerek uniója által generált algebra maga is tagja az U uniónak, tehát az ∪i∈N{Ai}i∈N halmaz eleme U-nak. ezzel beláttuk, hogy U zárt a megszámlálható egyesítésre, vagyis σ-algebra. ■ QED

Egy számossági tételSzerkesztés

Tétel: Ha R az Ω halmaz feletti legfeljebb kontinuum (c := |R|) számosságú halmazcsalád, akkor a σ(R) generált σ-algebra számossága is legfeljebb kontinuum. Azaz
|R|≤c ⇒ |σ(R)|≤c.

Bizonyítás: legyen R tetszőleges halmazcsalád, melyre |R|≤c. Ekkor

|c(R)| := |{X∈P(Ω) | Ω\X = RR{| ≤ c;
|u(R)| := |{ Z∈P(Ω) | (∃AP(P(Ω)) :( Z=∪(A) ∧ |A|≤χ0 ) }| ≤ c .

Ugyanis az R és a c(R) között a κ(X): R→c(R); κ(X) := Ω\X leképezés bijektív, ugyanis c(R) definíciója szerint minden képelemnek van ősképe (az Y-nak Ω\Y, mert Ω\(Ω\Y)=Y), továbbá injektív a függvény: ha A,B∈R, akkor κ(A)=κ(B) esetén A=B; hiszen ha Ω\A = Ω\B =C, akkor Ω\C = A is meg Ω\C = B is, és így A=B=Ω\C. A bijektív megfeleltetés miatt |R|=|c(R)|, mindkettő c számosságú.

Továbbá u(R) az R összes megszámlálható részcsaládjai uniójának halmaza. u(R)-beli unióhalmaz tehát legfeljebb annyi van, ahány megszámlálható részhalmaza van egy legfeljebb kontinuum számosságú halmaznak. E „szám” pedig éppen c. Ezért |u(R)|c.

Alkalmazzuk a transzfinit rekurzív konstrukciót. A σ0(R) σ-halmazra teljesül az állítás, és ha teljesül valamely ρ rendszámra, hogy |σρ(R)|≤c, akkor: |σρ+1(R)| := | {σr(R)}∪{c(σr(R))} ∪ { u({σr(R)}∪{c(σr(R))}) }| = |{σρ(R)}|+|{c(σρ(R))}| + |{u({σρ(R)}|∪|{c(σρ(R))})| }; ≤ c + c + c = 3c = c; azaz |σρ+1(R)|≤c.

Legyen most λ egy limesz-rendszám. A transzfinit indukciós bizonyítás ezeknél megakad, mert a σ-halmazokat nem egészen úgy képezzük, mint a többi rendszámra, hanem először összeunionáljuk az összes előző σ-halmazt, mely uniót σ(R) jelölt. Ilyenkor azonban mindig mindig legfeljebb megszámlálható sok σ-halmazt unionálunk össze. Az első limesz-rendszám ω, és mivel az ennél kisebb rendszámok halmaza megszámlálható, a σ(R), mint megszámlólható sok legfeljebb kontinuum számosságú halmaz uniója, legfeljebb kontinuum számosságú. Legyen λ- a λ-t megelőző limesz-rendszám. Tegyük fel (indukciós feltevés), hogy σλ-(R) legfeljebb kontinuum. Ekkor – hasonlóan a fent már belátott egyenlőtlenségekhez – a λ- és λ közti valamennyi σ-halmaz legfeljebb kontinuum számosságú. Ekkor ezeknek az I = {x | x rendszám, λ-≤x<λ} megszámlálható indexhalmazon (hiszen két egymáshoz legközelebbi limesz-rendszám közt tényleg csak megszámlálható rendszám van) vett uniója is megszámlálható. Továbbá nyilvánvalóan

 ,

mely unió mindkét tagja legfeljebb kontinuum az eddigiek szerint, tehát maga az unió is legfeljebb kontinuum számosságú.

A transzfinit indukció tételére hivatkozva, a σ-halmazok bármely rendszámra legfeljebb kontinuum számosságúak. ■ QED.

PéldákSzerkesztés

A teljes algebraSzerkesztés

Tetszőleges Ω halmaz felett érvényes σ{∅} = σ{Ω} = σ{∅,Ω} = {∅, Ω}, vagyis az üres halmaz, a tartóhalmaz, sőt e kettő együtt is, a triviális avagy minimális σ-algebrát generálja.

Az „elemi események” által generált algebraSzerkesztés

Tétel: Tetszőleges Ω halmaz egyelemű halmazainak („elemi események”) Ω1 := { {ω} | ω∈Ω} =: {R ∈ P(Ω) | |R|=1} családját véve, az ez által generált σ-algebra az Ω azon részhalmazainak családja lesz, melyek vagy maguk megszámlálhatóak (tehát végesek vagy megszámlálhatóan végtelenek), vagy a komplementerük megszámlálható (vagy mindkettő).
σ(Ω1) = {R∈P(Ω} | |R|=|N| ∨ |R|=|N|}[9]

Valóban, a σ-algebrák zártak a megszámlálható egyesítésre, tehát Ω megszámlálható részhalmazai – amelyek előállnak az egyelemű halmazok megszámlálható egyesítéseként – biztosan elemei lesznek a generált σ-algebrának. Ezek komplementerei is elemei a σ-algebrának, s ezek azon Ω-beli részhalmazok, melyek komplementere megszámlálható.

Fordítva, az ilyen halmazok (tehát a megszámlálhatóak vagy megszámlálható komplementerűek) σ-algebrát alkotnak. Legyen ezek halmaza M.

  1. M nem üres, hiszen ∅∈M, lévén az üres halmaz megszámlálható;
  2. M zárt a komplementerképzésre, hiszen ha R∈M, akkor vagy megszámlálható – ekkor komplementere: megszámlálható komplementerű; vagy megszámlálható komplementerű – ekkor komplementere: megszámlálható.
  3. M zárt a megszámlálható unióképzésre. Valóban, legyen R = {Ri}i∈N = {R1, R2, …, }∈NP(Ω) az Ω egy megszámlálható halmazrendszere, és legyen U = ∪(R)! Az unió művelet (nemcsak véges rendszerekre érvényes) kommutativitása miatt az U halmazt megkaphatjuk, ha képezzük R azon Q és W részrendszereit, ahol Q a megszámlálható és W a megszámlálható komplementerű részhalmazokat tartalmazza (ezek nem diszjunktak, de ez nem is szükséges végső soron az unió idempotens tulajdonsága miatt), majd egyesítjük őket. Tehát U = ∪(Q)∪∪(W). Mármost állítjuk, U maga is M-beli: megszámlálható vagy legalább a koplementere az. Belátjuk, hogy az utóbbi eset érvényes. Ugyanis ∪(W) = ∩(W) (ahol (W) itt a W komplementereiből álló h.rendszert jelöli) megszámlálható sok megszámlálható komlementerű halmaz komplementereinek metszete: szintén megszámlálható. Ezért képezve ennek metszetét – a jelen szempontból teljesen mindegy, milyen számosságú – ∪(Q) halmazzal, az is megszámlálható lesz. Tehát ∪(Q)∪(W) = ∪(Q)∪∪(W) megszámlálható, mert előáll olyan metszetként, melynek egyik tényezője megszámlálható. Ezért ∪(Q)∪∪(W) megszámlálható komplementerű, azaz M-beli. ■ QED.

Ha |Ω|≤|N|; akkor σ(Ω1) = P(Ω) teljesül (egy megszámlálható halmaz egyelemű halmazainak megszámlálható egyesítésével előáll minden részhalmaza); egyébként nem feltétlenül. Mivel a generált algebra a megszámlálható vagy megszámlálható komplementerű részhalmazok családja, ha Ω-nak van olyan A∈P(Ω) részhalmaza, mely maga sem megszámlálható, sem komplementere nem az, akkor A nem lehet eleme a generált algebrának. Például az Ω = R halmaznak van ilyen részhalmaza, mondjuk bármely (nem-elfajuló) intervallum.

Ennek eredményeképp, |σ(Ω1)| számossága az Ω megszámlálható részhalmazainak számosságával egyenlő, ami:

  • ha |Ω| < א0, akkor |σ(Ω1)| = 2|Ω|
  • ha |Ω| = א0, akkor |σ(Ω1)| = א0;
  • ha |Ω| = c, akkor |σ(Ω1)| = c;

A Borel-algebrákSzerkesztés

Fő szócikk: Borel-algebra

1. definíció: Legyen (Ω T) egy topologikus tér, ekkor a σ(T) generált σ-algebrát (Borel-féle halmaztestet) az Ω feletti Borel-algebrának mondjuk, és  -val jelöljük. Elemeit az (Ω T) Borel-halmazainak mondjuk.

Létezik egyébként egy ezzel nem ekvivalens definíció:

2. definíció: Legyen (Ω T) egy topologikus tér, és legyen a T kompakt halmazainak halmaza C! Ekkor a σ(C) generált σ-algebrát (Borel-féle halmaztestet) az Ω feletti (kompakt) Borel-algebrának mondjuk, és  -val jelöljük.

A valószínűségszámításban (konkrétabban, a valószínűségi változó definíciójában) fontos szerepet játszanak az Rn-en értelmezett hagyományos topológia (egy halmaz nyílt, ha nem tartalmazza egyetlen határpontját sem; i. e. minden pontja belső pont) Borel-halmazai. Ezen algebra egyik kézenfekvő generátorrendszere egydimenziós esetben (n=1) az összes (a,b) nyílt intervallum halmaza, többdimenziós esetben pedig vehetjük az ilyen intervallumok direkt szorzatait (n dimenzió esetén az (a,b)n halmazokat).

A Baire-algebrákSzerkesztés

Fő szócikk: Baire-algebra

Legyen τ = (Ω T) egy topologikus tér, és jelölje a f∈ΩR folytonos függvények halmazát (azaz az f: Ω→R alakúakét, amelyek folytonosan képezik (Ω T)-t az R-be) C(τ)! A C(τ) „kompakt burkát” (f∈ΩR azon legszűkebb részhalmazát, mely tartalmazza C(τ)-t és sorozatkompakt, azaz a pontonkénti határértékképzésre zárt) jelölje b(C(τ)), ennek elemeit a τ tér Baire-függvényeinek nevezzük. Ekkor a Ba(τ) := σ(B∈P(Ω) | χB ∈ b(C(τ)) ) generált algebra elemeit a τ tér Baire-halmazainak nevezzük, magát az algebrát a tér feletti Baire-algebrának (χB a B halmaz Ω feletti karakterisztikus függvénye). Vagyis a Baire-halmazok a Baire-függvény karakterisztikus függvényű halmazok által generált algebra elemei.

HivatkozásokSzerkesztés

Lásd mégSzerkesztés

Felhasznált irodalomSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Halmazcsaládok helyett tekinthetünk I indexhalmazú AIP(Ω) halmazrendszereket is
  2. Ld. Halmazalgebra/Metszetképzésre való zártság; 2. tétel
  3. Vagyis az R-beli halmazok Ω-ra vonatkozó komplementereiből álló halmaz;
  4. Vagyis az R-beli halmazok egyesítésével kapható halmazok halmaza.
  5. Ez a bonyolultabb procedúra csak azért szükséges a limesz-rendszámokra, mert az egyszerűbb konstrukciót a „közvetlenül megelőző” rendszámra kellene végrehajtani, de ha β limesz-rendszám, nincs ilyen – nincs „utolsó” rendszám a β előtt, aminek a σ-halmazát képezhetnénk; de természetesen szükségünk van az összes már generált halmazra, hogy az algebra zárttá váljon, ezért az összes megelőző σ-halmazt egyesíteni kell.
  6. G: A generáló halmazrendszert jelöli az idézetben.
  7. Azért nem lehet egyszerűen ψ(X)=σ(X), mert σ(X) nem egy lezárási operátor (legalábbis topológiai értelemben) az Ω feletti halmazcsaládok között, ugyanis az 1. tulajdonságot (f(∅)=∅) nem teljesíti, hiszen az üres rendszer által generált σ-algebra a triviális/minimális {∅, P(Ω)} rendszer.
  8. Ha Ω és G végtelen, akkor a képletben ≤ helyett = is írható, azaz σ(G) a G összes megszámlálhatóan végtelen részcsaládja generátumainak uniója. Véges esetben ez már persze nem lenne igaz, hiszen véges halmazcsaládnak nincs is megszámlálhatóan végtelen részcsaládja, így az unió üres lenne. Végtelen esetben viszont nyugodtan megfeledkezhetünk a véges részcsaládokról, hiszen mindegyik része valamelyik végtelen részcsaládnak, és ha végtelenné bővítjük a generátorrendszert, akkor a generátum is bővül.
  9. R itt az Ω-R halmazműveletet (Ω-ra vonatkozó komplementerképzés) jelöli.