Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritástartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

MotivációSzerkesztés

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

  1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
  2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a   ekvivalens az  -tel, mert a   és a   egyaránt  -re egyszerűsödik.
  3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre (például az (1,2)-t tartalmazó ekvivalenciaosztály és a (3,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az (5,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a (3,8)-at tartalmazó ekvivalenciaosztály.
  4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciójaSzerkesztés

Legyen   egy integritási tartomány és jelölje   az   elemeiből alkotott   rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy  .   elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy   akkor és csak akkor, ha   (az  -ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát  -vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt  -vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy   elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

  1. Tetszőleges  -re  . Az így definiált szorzás egységeleme az   ekvivalenciaosztály (tetszőleges   elemre).
  2. Tetszőleges  -re  . Az így definiált összeadás nulleleme a   ekvivalenciaosztály (tetszőleges   elemre).
  3. Tetszőleges   additív inverze  .
  4. Ha  ,   multiplikatív inverze  .

Az így konstruált   testet   hányadostestének nevezzük.

Vegyük észre, hogy  -ben nem feltétlenül van egységelem, de ez nem befolyásolja a konstrukciót. Konkrét példaként ha  , a páros számok integritástartománya, akkor a keletkező   hányadostest a racionális számok teste, amelyben   az egységelem.

TulajdonságaiSzerkesztés

  tartalmazza   izomorf képét (  természetes megfeleltetést ad   és  ) között.   a legszűkebb olyan test, amelybe   beágyazható.

  (az izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghatározza  -t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. (Például a racionális számok teste hányadosteste az egész számoknak is és a páros számoknak is.) Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

  és   karakterisztikája megegyezik. Ha   végtelen, akkor   és   számossága is megegyezik, hiszen   számosságának alsó korlátja   számossága, és felső korlátja az   elemeiből képzett rendezett párok halmazának számossága, amely végtelen halmazok esetén megegyezik   számosságával.

PéldákSzerkesztés

  • Amint feljebb láttuk, ha  , akkor  .
  • Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

ForrásokSzerkesztés

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK