Hall-tétel

A matematikában a Hall-tétel (1935, Philip Hall) egy kombinatorikai állítás, ami feltételt ad arra, hogy mikor lehet kiválasztani egy adott halmaz valahány nem feltétlenül diszjunkt részhalmazából különböző elemeket.

Legyen S = {S₁, S₂, … } egy (nem feltétlenül megszámlálható) halmaza egy M halmaz véges részhalmazainak. A diszjunkt reprezentáns rendszer (innentől DRR) egy olyan X = {x₁, x₂, …} halmaza M-beli páronként diszjunkt elemeknek, melyekre |X| = |S|, és minden i-re x_i eleme S_i-nek teljesül.

Az S halmaz teljesíti a Hall-feltételt, ha S minden T = {T_i } részhalmazára:

$|\bigcup T_{i}|\geq |T|$ (vagyis bármely n részhalmaz együtt legalább n elemből áll)

A Hall-tétel azt állítja, hogy akkor és csak akkor létezik diszjunkt reprezentáns rendszer X = {x_i}, ha S teljesíti a Hall-feltételt.

Például: Legyen S₁ = {1, 2, 3}, S₂ = {1, 4, 5}, S₃ = {3, 5}.

Erre az S = {S₁, S₂, S₃} halmazra, egy megfelelő DRR az {1, 4, 5} (Nem csak ez az egy DRR lehetséges: a {2, 1, 3} ugyanúgy jó lenne).

A leggyakoribb példa a Hall-tétel alkalmazására, ha elképzelünk egy-egy n tagú férfiakból, illetve nőkből álló csoportot. Minden nő boldogan hozzámenne a férfiak egy bizonyos részhalmazához, és minden férfi boldogan elvenne bármely nőt, aki hozzá akarna menni. Gondoljuk meg, mikor lenne lehetséges úgy összeházasítani a férfiakat a nőkkel, hogy mindenki boldog legyen.

Ha M_i lesz az a halmaza a férfiaknak, akikkel az i-edik nő boldogan összeházasodna, akkor a tétel állítása szerint akkor és csak akkor tudna minden nő boldogan férjhez menni, ha az {M_i} halmazok halmaza kielégíti a Hall-feltételt.

A Hall-feltétel jelen esetben bármely $I$ részhalmazára a nőknek, azon férfiak száma, akik az $I$-beli nők közül legalább egyet elvennének ($\scriptstyle {|\bigcup \limits _{i\in I}T_{i}|}$) legyen legalább akkora, mint a nők ezen részhalmazának elemszáma, $\scriptstyle |I|=|\{T_{i}:i\in I\}|$. Az természetes, hogy a feltétel szükséges, hiszen enélkül nem lenne elég az $I$-beli nők között szétosztható férfi. Annál érdekesebb, hogy a feltétel elégséges is.

A tételnek vannak egyéb alkalmazásai is. Például vegyünk egy csomag francia kártyát, és osszuk szét őket 13 darab csoportba, minden csoportba 4-et téve. Ezek után a Hall-tételt használva láthatjuk, hogy lehetséges minden csoportból 1-1 kártyát úgy kiválasztani, hogy a 13 kiválasztott kártya közül minden kártyaértékből pontosan 1 szerepeljen (ász, 2, 3, …, dáma, király).

Absztraktabb példaként legyen G egy csoport és H egy véges részcsoportja G-nek. Ekkor a tétel segítségével megmutathatjuk, hogy létezik olyan X halmaz, ami egyaránt DRR-je a H G-beli jobb és bal oldali mellékosztályainak.

A tétel a megbízatási problémára is alkalmazható: Adott n alkalmazott halmaza, és mindhez egy lista, hogy kit mire lehet alkalmazni. Akkor és csak akkor tudunk mindenkinek a képességeihez megfelelő munkát adni, ha k (1…n) minden értékére bármely k db lista összesen legalább k db munkát tartalmaz.

A még általánosabb problémára, melyben (nem feltétlenül különböző) elemeket kell kiválasztani halmazok egy halmazából, általában csak a csoportaxiómákat feltéve alkalmazhatjuk.

Bizonyítás

A Hall-tétel véges esetét fogjuk az |S|-re, azaz $S$ elemszámára vonatkozó indukcióval bizonyítani. A végtelen eset a kompaktsági tétel segítségével történik.

A tétel triviálisan igaz az |S| = 0 esetben.

Feltesszük, hogy a tétel minden |S| < n értékre igaz, ekkor |S| = n-re bizonyítunk.

Először nézzük, mi van akkor, ha az alábbi $\left\vert \cup T\right\vert \geq \left\vert T\right\vert +1$ erősebb feltételt tesszük fel minden $\emptyset \neq T\subset S$-re. Vegyük bármely $x\in S_{n}$ -et is $S_{n}$ reprezentánsának; a DRR-t $S'=\left\{S_{1}\setminus \{x\},\ldots ,S_{n-1}\setminus \{x\}\right\}$ -ből kell választanunk. De, ha $\{S_{j_{1}}\setminus \{x\},...,S_{j_{k}}\setminus \{x\}\}=T'\subseteq S'$ , akkor a feltevésünk szerint $\left\vert \cup T'\right\vert \geq \left\vert \cup _{i=1}^{k}S_{j_{i}}\right\vert -1\geq k$. A tétel már bizonyított esetét $S'$-re alkalmazva látható, hogy találhatunk megfelelő DRR-t $S'$-höz.

Egyébként bizonyos $\emptyset \neq T\subset S$ értékekre az éles egyenlőség áll fent $\left\vert \cup T\right\vert =\left\vert T\right\vert$. $T$-n belül már bármely $T'\subseteq T\subset S$-re beláttuk $\left\vert \cup T'\right\vert \geq \left\vert T'\right\vert$-t, így a tétel már bizonyított esete alapján választhatunk DRR-t $T$ számára. Az maradt hátra, hogy találjunk egy DRR-t $S\setminus T$-hez, ami nélkülözi $\cup T$ összes elemét (ezek az elemek $T$ SDR-ében vannak benne). Ahhoz, hogy (újfent) fel tudjuk használni a tétel már bizonyított esetét, meg kell mutatnunk, hogy bármely $T'\subseteq S\setminus T$-re, $\cup T$ elemeinek figyelembe vétele nélkül is marad elég elem $\cup T'$-ben: azaz $\left\vert \cup T'\setminus \cup T\right\vert \geq \left\vert T'\right\vert$-t kell belátnunk.

De

$\left\vert \cup T'\setminus \cup T\right\vert$

$=\left\vert \bigcup (T\cup T')\right\vert -\left\vert \cup T\right\vert \geq \left\vert T\cup T'\right\vert -\left\vert T\right\vert$

$=\left\vert T\right\vert +\left\vert T'\right\vert -\left\vert T\right\vert =\left\vert T'\right\vert$,

$T$ és $T'$ diszjunktságát felhasználva. Így a tétel már bizonyított esetét felhasználva látható, hogy $S\setminus T$-hez tényleg létezik megfelelő DRR, amely $\cup T$ egyetlen elemét sem tartalmazza.

Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

Következmény

Ha $G(V_{1},V_{2},E)$ egy páros gráf, akkor $G$-ben akkor és csak akkor van $V_{1}$-et lefedő párosítás, ha $\vert S\vert \leq \vert N(S)\vert$ minden $S\subset V_{1}$ részhalmazra.

Gráfelmélet

A Hall-tételnek főleg a gráfelméleten belül vannak alkalmazásai. Gráfelméleti problémaként így fogalmazhatjuk meg az alapkérdést:

Adott egy páros gráf, G:= (S + T, E), két ugyanakkora méretű csúcshalmazzal, S-sel és T-vel, a kérdés pedig az, hogy létezik-e G-ben teljes párosítás.

A Hall-tétel megadja a választ:

Példa egy páros gráfra, ahol a fenti ponthalmaz teljesíti a Hall-feltételt, így létezik őt lefedő párosítás.

Jelentse $N_{G}(X)$ a G-beli X csúcshalmaz szomszédainak számát. A Hall-tétel szerint akkor és csak akkor létezik teljes párosítás G-ben, ha S minden X részhalmazára

$\|X\|\leq \|N_{G}(X)\|$

A tetszőleges gráfokra történő általánosítást a Tutte-tétel teszi lehetővé.

Egy még általánosabb állítás

Legyen G egy páros gráf, BIP^N(X,Y) úgy, hogy X és Y nem feltétlenül azonos méretűek. Ilyenkor G-ben akkor és csak akkor párosíthatók X összes csúcsai Y-beliekkel, ha az X csúcshalmaz kielégíti a Hall-feltételt.

A korábbi jelöléseket használva a Hall-feltétel: minden A részhalmazára X-nek igaz, hogy |Г(A)| $\geq$ |A|.

Logikai ekvivalenciák

Ez a tétel tagja annak a 7 db különösen jelentős kombinatorikai tételnek, amelyek egyébként logikailag ekvivalensek. Ezek:

• Kőnig-tétel
• A Kőnig–Egerváry-tétel (1931) (Kőnig Dénes, Egerváry Jenő)
• Menger–tétel (1927)
• A Maximális folyam–minimális vágás-tétel (Ford-Fulkerson-algoritmus)
• A Birkhoff–Neumann-tétel (1946)
• Dilworth-tétel

Hivatkozások

• Equivalence of seven major theorems in combinatorics
• Katona, Recski, Szabó: A számítástudomány alapjai. Typotex. Budapest, 2006. p. 58,59.

További információk

• Marriage Theorem a cut-the-knot honlapról
• Marriage Theorem and Algorithm a cut-the-knot honlapról

Ez a szócikk a PlanetMath proof of Hall's marriage theorem cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.