Harmadfokú egyenlet

A matematikában harmadfokú egyenlet minden olyan egyenlet, amelynek egyik oldala ekvivalens algebrai átalakításokkal nullává tehető (redukálható) úgy, hogy másik oldalán harmadfokú polinom szerepeljen.

Egy harmadfokú függvény grafikonja, itt a gyököket a függvény x tengellyel való metszéspontjai jelentik (y = 0).

Ha az egyenlet egyismeretlenes, akkor ez azt jelenti, hogy a nullával szembeni oldalán az ismeretlen előforduló legmagasabb hatványa a köb (a köb a legmagasabb hatvány, ami szerepelhet, és az valóban szerepel is).

A harmadfokú egyenletek jelentősége, hogy problematikájuk kiteljesítette a számfogalmat, életre hívta a komplex számokat, közvetve hatott a test- és csoportelmélet, a hiperkomplex számok, a kvaterniók, a komplex függvénytan megszületésére.

A harmadfokú egyenletek megoldása egy középkori perzsa tudós, Omar Hajjám nevéhez fűződik.

ÁltalánosanSzerkesztés

Az egyismeretlenes harmadfokú egyenletek általános alakja:

 

ahol   (ha az a = 0, akkor egy legfeljebb másodfokú egyenlethez jutunk).

Az a, b, c és d betűket együtthatóknak nevezzük: az a együtthatója (a főegyüttható), a b együtthatója, a c x együtthatója és d a konstans együttható.

MegoldásaSzerkesztés

A harmadfokú egyenlet megoldóképletét a 16. század elején fedezték fel itáliai matematikusok. Ez volt az első eset, hogy az európai matematika jelentősen túlhaladt az ókori aritmetika és az arab algebra eredményein. Bár már régóta több kultúrkörben ismeretesek voltak iterációs eljárások, melyekkel bármely (egész) fokszámú egyenlet egy gyöke meghatározható, a másodfokú egyenlet megoldása pedig több évezredes volt, Luca Pacioli (ő számította ki Leonardo da Vinci részére, hogy mennyi bronz szükséges a lovasszobrához) 1494-ben megjelent könyvében még lehetetlennek tartotta a következő típusú egyenletek megoldását:

 
 
 

Abban az időben még nem fogadták el „igazi” számnak a negatív számokat, az egyenleteket mindig pozitív együtthatókkal írták föl, a gyököket is csak a pozitív számok közt keresték. A másodfokú egyenleteknek is öt típusát különböztették meg, ezek megoldását is külön tárgyalták. Éppen a harmadfokú egyenlet megoldása közben felmerült kérdések vezettek a számfogalom erőteljes kiszélesítéséhez.

Az egyenletek megoldásának egyik fő motivációját a korszak számolóversenyei jelentették. A reneszánsz Itáliájában fontosak voltak tudományok és a kereskedelem, és az ennek alapjául szolgáló matematikát is nagy becsben tartották. Kialakult az a szokás, hogy művelt emberek, például egyetemi professzorok egyfajta sajátos lovagi tornán, szöveges feladatok formájában megfogalmazott nehéz egyenletek megoldásában mérik össze erejüket („Egy kereskedő zafírt adott el, haszna köbgyöke volt annak az összegek, amelyért a követ vásárolta. Összesen 500 dukátot kapott a kőért: mekkora volt a haszna?”). Az összecsapásokat a művelt elit figyelemmel kísérte, a győztes nagy jutalmakra számíthatott a gazdagabb nemesektől, de esetenként akár egyetemi katedrát is kaphatott.[1]

Az első eredményt Scipione del Ferro érte el: megoldotta az

 

egyenletet. Eredményét titokban tartotta. Niccolò Tartaglia 1535-ben megoldotta ugyanezt, továbbá az

 

alakút is, az

 

–re kijelentette, hogy ugyanúgy kell eljárni, mint az előzőnél. Gerolamo Cardano magától Tartagliától és del Ferro vejétől ismerte meg a képletet, mely az ő könyvében 1545-ben jelent meg nyomtatásban először. Cardano és tanítványa, Ludovico Ferrari e műben bizonyítja, hogy alkalmas helyettesítéssel bármely harmadfokú egyenlet valamely Tartaglia-féle alakra hozható. Ugyanebben a műben található Ferrari negyedfokú egyenletekre adott megoldása is.

Ha egy valós gyök van, vagy van többszörös valós gyök, akkor az egyenlet valós gyökei a komplex számok használata nélkül is megoldható. De ha az összes gyök valós, és egyszeres, akkor gyökjelekkel csak a komplex számokon keresztül juthatunk el hozzájuk. Ez a casus irreducibilis.

Viète-formulákSzerkesztés

 

 

 

Képlet és levezetésSzerkesztés

Tartaglia-féle alakra hozásSzerkesztés

Első lépésben bemutatjuk, hogy bármely harmadfokú egyenlet átalakítható   alakúvá. (Ezt bizonyította Ludovico Ferrari.)

Az általános harmadfokú egyenlet nullára rendezett alakja:

       (1)

Az egyenlet mindkét oldalát leosztjuk  -val: (Ez biztosan megtehető, nem történik nullával való osztás, hisz harmadfokú egyenlet esetén  .)

 

Az alábbi egyenlet a hatványozás és szorzások elvégzése után pontosan a fentit adja, tehát a fentit átírhatjuk ebbe az alakba:

 

Végezzük el a következő behelyettesítéseket:

  •  
  •  
  •  

Így kapjuk meg a következő egyenletet:

             (2)

Tehát tetszőleges harmadfokú egyenlet Tartaglia-féle alakra hozható.

Cardano- vagy Tartaglia-képletSzerkesztés

Scipione del Ferro és Tartaglia bizonyította be, hogy a (2) alakú harmadfokú egyenletek (egyik) megoldását kiadja az alábbi képlet:

       (3)    (Cardano- vagy Tartaglia-képlet)

Ennek levezetése az alábbi:

Írjuk föl az ismeretlent két tag összegeként:

 

Ebből:

 

Átrendezve:

 

Ezt (2)-vel összevetve a tényezők egyenlőségéből következik:

 
 

Az elsőt átrendezve megkapjuk, hogy  , melyet behelyettesítve a másodikba a következőhöz jutunk:

 

Ez egy másodfokú egyenlet  -re, amiből a másodfokú egyenlet megoldóképletével megkapjuk a két megoldást:

 

Ugyanezt kapjuk, ha   helyett  -t helyettesítjük be, és mivel a kettőt nem különböztetjük meg, vehetjük, hogy:

 
 

Mivel  , ezért a (2) egyenlet megoldása:

 

További gondolatok konkrét példákon keresztülSzerkesztés

Elsőként lássuk, ha egy valós gyök van:

 

A képletbe behelyettesítve   és   értékeket:

 

Ezzel a példával tehát nincs semmi probléma.

A következő példának azonban két megoldása van:

       (5)

A képletbe behelyettesítve   és   értékeket:

 .

Csakhogy az egyenletnek az 1 is megoldása, melyet az egyenlet gyöktényezőkre bontott alakja is mutat:  . (Az 1 kettős gyök.)

A XVI. század első felében a negatív gyököket nem vették figyelembe, így számukra csak az 1 a megoldás. A képlet levezetése logikailag hibátlan, így érthetetlen volt, hogy az 1-et nem adja ki.

Tekintsük most a következő példát, amelynek három megoldása is van (1, 2 és -3):

       (6)

A megoldóképletbe behelyettesítve azonban a gyök alatt negatív értéket kapunk, így a képlet eredménye nem számítható ki:

 .

És mindig ez történik, ha három különböző valós gyök van. Elképzelhető azok zavara, akik igyekeztek megkerülni a negatív számok használatát, most pedig négyzetgyököt kellett vonniuk belőlük. Cardano is sokat foglalkozott ezzel az esettel, de komolyabb eredményt nem ért el. Helyesen feltételezte, hogy a

 

és

 

alakú, mert csak így tűnhet el a két tag összegéből a negatív szám négyzetgyöke. Raffaello Bombelli folytatta a gondolatmenetét. Ő a negatív számok négyzetgyökét is számnak tekintette, definiálva a velük való négy alapműveletet – de nem tudta értelmezni a komplex számokon a gyökvonást. Szabályai tulajdonképpen megmagyarázták a (6). típusú egyenlet megoldóképletének viselkedését: a két köbgyök két konjugált komplex számot ad, ezek összegéből pedig a képzetes rész kiesik. Ám ezen szabályok ismeretében sem tudta a (6). típusú egyenlet gyökeit kiszámítani.

De Bombelli szabályaival, a komplex számok mélyebb ismerete nélkül is föloldható az (5). típusú egyenletnél tapasztalt nehézség. Mai jelöléssel ( ,   valós):

Legyen

 

másrészt

 

tehát:

 ,    (7)

és

 .    (8)

(8)-ból ha   nem 0, akkor:

 ,

(7)-be behelyettesítve:

 

innen

 ,  ,  .

Tehát

  

 .

A fenti gondolatmenetbe   helyett bármely valós számot írhatunk, így

 ,     ,     .

Tehát:

 .

Mindez következik a gyöktényezős alakból is: mivel   együtthatója  , így  , jelen esetben kettős gyök van, tehát  , vagyis  .

Persze abban az időben (mivel kerülték a negatív együtthatók használatát) nem rendezték 0-ra az egyenleteket, így a gyöktényezős alakot sem ismerhették.

Tehát az (5). típusú egyenlet minden gyöke kiszámítható ilyen egyszerűen.

A (6). típusú egyenletet Bombelli ily módon azért nem oldhatta meg, mert ott a hasonlóan felírt egyenletrendszer ismét harmadfokú egyenletre vezet.

A harmadfokú egyenlet rutinszerű megoldásának a komplex számok elméletének kidolgozása volt a feltétele. Ez legfőképp Carl Friedrich Gauss érdeme.

Miután az i-t -1 négyzetgyökeként definiálták, felmerült a kérdés, hogy vajon -1 logaritmusa is definiálható-e értelmesen. A választ Leonhard Euler adta meg:   esetén a komplex számok között is bevezethető a logaritmusfüggvény.

AlgoritmusSzerkesztés

Az   harmadfokú egyenlet általános megoldására alkalmazható az alábbi Python[2] függvény. A függvény bemenő paraméterei az   együtthatók, melyek mindegyike valós vagy komplex szám ( ). A függvény három értékkel tér vissza:  , melyek a harmadfokú egyenlet megoldásai. Midegyik visszaadott érték complex típusú. A valós megoldások   alakúak.

Az algoritmus a General cubic formula egy javított változata alapján készült.

import math
import cmath


def megoldas(a, b, c, d):
    def kobgyok(z):
        r, p = cmath.polar(z)
        return cmath.rect(math.pow(r, 1/3), p/3)

    D0 = b**2 - 3*a*c
    D1 = 2*(b**3) - 9*a*b*c + 27*(a**2) * d

    #A numerikus pontosság érdekében megkeressük a legnagyobb abszolútértékű C-t
    C1 = kobgyok((D1 + cmath.sqrt(D1**2 - 4*(D0**3))) / 2)
    C2 = kobgyok((D1 - cmath.sqrt(D1**2 - 4*(D0**3))) / 2)
    if abs(C1) > abs(C2):
        C = C1
    else:
        C = C2

    x = []
    if C != 0:
        ksi = (-1 + cmath.sqrt(-3)) / 2
        for k in range(3):
            x.append(-1/(3*a) * (b + (ksi**k)*C + D0/((ksi**k) * C)))
    else:
        #Az eredeti algoritmus ezt az ágat nem tartalmazta
        for k in range(3):
            x.append(-1/(3*a) * b)

    return x[0], x[1], x[2]


ÖsszefoglalvaSzerkesztés

Az     általános harmadfokú egyenlet az     helyettesítéssel

   formára hozható.

Az     tipusú egyenlet gyökei pedig:

    ahol   

jelölés:    

Ha     akkor a gyökvonás elvégezhatő és az egyenletnek mindig egy valós és két konjugált komplex(egymás tükörképei) megoldása lesz:

: 

 

Ha viszont     akkor másképp kell számolni, és az eredmény mindig valós lesz:

  


HivatkozásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Laubenbacher, R. - Pengelley, D.: Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers. Matematikatörténeti könyv 5. fejezetének (Algebra: The Search for an Elusive Formula) PDF-változata (angol nyelven). 217-228. o. Hozzáférés: 2012-05-06.
  2. Python 3.8.0

ForrásokSzerkesztés

  • Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
  • Fried Ervin: Algebra I.