Főmenü megnyitása
A lineáris harmonikus oszcillátor potenciális energiája és sajátfüggvényei

A harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot nevezzük harmonikus oszcillátornak.

Tartalomjegyzék

Egydimenziós (lineáris) harmonikus oszcillátorSzerkesztés

 
A lineáris harmonikus oszcillátor sajátfüggvényei

Az m tömegű egydimenziós harmonikus oszcillátorra   rugalmas erő hat, ahol k pozitív állandó. Mivel  , a potenciális energia:  . Ha a potenciális energiát ( ) a hely (x) függvényében ábrázoljuk, parabolát kapunk.

Schrödinger-egyenlet és megoldásaSzerkesztés

A harmonikus oszcillátor Schrödinger-egyenlete:  

A Schrödinger-egyenlettel meghatározhatóak a lehetséges energia-sajátértékek ( ), és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények ( ). Az egyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel lehet megoldani.

Az energia lehetséges értékei a sajátértékek:  , ahol   körfrekvencia, és n=0,1,2,... nemnegatív egész szám. Ezzel a sajátértékek teljes rendszerét megkaptuk. Az oszcillátor energia-sajátértékei tehát nem vesznek fel tetszőleges értékeket, hanem   kvantum egész számú többszörösei.

Az  -hoz tartozó   sajátértéket az oszcillátor zéruspont-energiájának nevezzük.

A szomszédos energiaszintek közti különbség:  

AZ   sajátértékhez tartozó sajátfüggvény:  , ahol  , és   az n-dik Hermite-polinom.

Az arányossági tényező egy normáló tag, mivel  -nek teljesülnie kell.

AlkalmazásSzerkesztés

  • Kétatomos molekulák vibrációs színképének értelmezése
    A kétatomos molekulákban az atomokat közelítőleg rugalmas erők tartják egymás közelében. A molekula ezek hatására rezgéseket végez, amelyek lehetséges energiaértékeit a fenti energiasajátértékek adják meg.
  • Szilárd testek Einstein-modellje
    A modellben a szilárd testet úgy képzeljük el, hogy az atomjai a kristályrács rácspontjaiban helyezkednek el, és egyensúlyi helyzetük körül kis amplitúdóval rezegnek. A test minden atomja azonos amplitúdóval rezeg, és a köztük lévő kölcsönhatástól eltekintünk. Ekkor az atomokat elemi oszcillátorokként vizsgálhatjuk, így jó közelítéssel meghatározhatjuk a szilárd anyag moláris hőkapacitásának értékét.

Háromdimenziós harmonikus oszcillátorSzerkesztés

Az energia lehetséges értékei:  

Lásd mégSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés