Harmonikus rezgőmozgás

Harmonikus rezgőmozgás

Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük a két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)

Vannak nemharmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.

A mozgás jellemzéseSzerkesztés

 
Harmonikus rezgőmozgás
  • A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
  • A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
  • A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
  • A rezgés frekvenciája az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy  , mértékegysége:   (hertz).  
  • A körfrekvencia jele:  , mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz).  
  • A kezdőfázis jele:  , mértékegység nélküli mennyiség.

Kinematikai leírásSzerkesztés

 
Kitérés-idő grafikon
 
Kitérés, sebesség, gyorsulás

Kitérés-idő függvény:  
Sebesség-idő függvény:  
Gyorsulás-idő függvény:  

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó:  
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó:  

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolataSzerkesztés

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

 
Harmonikus rezgőmozgás referenciaköre
 
Egyenletes körmozgás és harmonikus rezgőmozgás

Dinamikai leírásSzerkesztés

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre:  , ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete:  .

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz- és a koszinuszfüggvény.

Az egyenlet megoldása:  , ahol a körfrekvencia  , a periódusidő  .

Harmonikus oszcillátor energiájaSzerkesztés

Egy harmonikus oszcillátornak, attól függően, hogy pályája melyik pontjában található lehet csak helyzeti (potenciális) energiája (maximális kitérés esetén), csak mozgási energiája (egyensúlyi ponton való áthaladáskor), vagy egyszerre mindkettő.

 , ahol a két energiát ki lehet fejteni, mint

 

és

 

Tudva, hogy   körfrekvenciára érvényes az   összefüggés, az előző egyenlet egyszerűbb alakra hoztható. Vagyis,

 .

A végeredmény értelmezhető a körfrekvenciával is, ekkor az előző kifejezés a következőképp módosul:

 ,

ami átírható az

  alakra is.

Az energia   és   alakjaiból levonhatjuk a következő következtetéseket:

  1. Az energia időtől független, vagyis állandó
  2. A maximális helyzeti energia megegyezik a maximális mozgási energiával
  3. Köztes esetben az összenergia  , amely megoszlik, mint a potenciális és mozgási energia összege az adott pillanatban

Rezgések összetételeSzerkesztés

Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

 
 

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:  ,

ahol az eredő amplitúdó   és az eredő kezdőfázis  .

Speciális esetek

  • Maximális erősítés
    Amikor  , vagyis a rezgések azonos fázisúak, akkor  , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege.
  • Maximális gyengítés
    Amikor  , vagyis a rezgések ellentétes fázisúak, akkor  , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, A=0, a két rezgés épp kioltja egymást.

Egyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázisok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

 
 

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:  .

Az amplitúdó  .

Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.

 
Eredő pályák A=B esetén

Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

 
 

Az eredő mozgás pályája:  . Ez egy ellipszis egyenlete.

Az ellipszis tengelyének iránya   fáziskülönbségtől függ.

Merőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya ( ) alapján két esetet különböztetünk meg:

 
1:2
 
1:3
 
1:6
 
2:3
 
3:4
 
3:20
 
17:23
 
97:101
  • Irracionális arányú körfrekvenciák esetén a pályagörbe nem záródik.

ForrásokSzerkesztés

  • Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
    Tankönyvkiadó, Budapest
  • Tasnádi Péter - Skrapits Lajos - Bérces György: Mechanika I.
    Dialóg Campus Kiadó, Budapest-Pécs ISBN 963-9310-23-9
  • Tellmann Jenő - Darvay Béla - Kovács Zoltán: Fizika, Ábel kiadó, Kolozsvár, 2006

További információkSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés