Főmenü megnyitása
Harmonikus rezgőmozgás

Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük a két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)

Vannak nemharmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.

A mozgás jellemzéseSzerkesztés

 
Harmonikus rezgőmozgás
  • A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
  • A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
  • A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
  • A rezgés frekvenciája az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy  , mértékegysége:   (hertz).  
  • A körfrekvencia jele:  , mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz).  
  • A kezdőfázis jele:  , mértékegység nélküli mennyiség.

Kinematikai leírásSzerkesztés

 
Kitérés-idő grafikon
 
Kitérés, sebesség, gyorsulás

Kitérés-idő függvény:  
Sebesség-idő függvény:  
Gyorsulás-idő függvény:  

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó:  
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó:  

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolataSzerkesztés

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

 
Harmonikus rezgőmozgás referenciaköre
 
Egyenletes körmozgás és harmonikus rezgőmozgás

Dinamikai leírásSzerkesztés

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre:  , ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete:  .

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz és a koszinusz függvény.

Az egyenlet megoldása:  , ahol a körfrekvencia  , a periódusidő  .

Rezgések összetételeSzerkesztés

Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

 
 

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:  ,

ahol az amplitúdó   és a kezdőfázis  .

Speciális esetek

  • Maximális erősítés
    Amikor  , vagyis a rezgések azonos fázisúak, akkor  , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege.
  • Maximális gyengítés
    Amikor  , vagyis a rezgések ellentétes fázisúak, akkor  , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, A=0, a két rezgés kioltja egymást.

Egyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázisok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

 
 

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:  .

Az amplitúdó  .

Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.

 
Eredő pályák A=B esetén

Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

 
 

Az eredő mozgás pályája:  . Ez egy ellipszis egyenlete.

Az ellipszis tengelyének iránya   fáziskülönbségtől függ.

Merőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetételeSzerkesztés

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya ( ) alapján két esetet különböztetünk meg:

 
1:2
 
1:3
 
1:6
 
2:3
 
3:4
 
3:20
 
17:23
 
97:101
  • Irracionális arányú körfrekvenciák esetén a pályagörbe nem záródik.

ForrásokSzerkesztés

  • Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
    Tankönyvkiadó, Budapest
  • Tasnádi Péter - Skrapits Lajos - Bérces György: Mechanika I.
    Dialóg Campus Kiadó, Budapest-Pécs ISBN 963-9310-23-9

További információkSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés