Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva

A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát. A halmazok halmazát Ernst Zermelo és Gerhard Hessenberg is vizsgálta. A hatványhalmaz elnevezés későbbi.

DefinícióSzerkesztés

Ha   halmaz, akkor  -val jelöljük és a   halmaz hatványhalmazának nevezzük a   összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen:   ahol a   szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

A hatványhalmaz halmazrendszer, azaz egy olyan halmaz, melynek elemei halmazok. A   rendszer elemei közé tartoznak a nem valódi részhalmazok, így az üres halmaz, és   is. További jelölései:   és  .

PéldaSzerkesztés

Ha   az   háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:

  • nullaelemű részhalmaza az   üres halmaz
  • egyelemű részhalmazai az  , a   és a  
  • kételemű részhalmazai:  ,   és  
  • egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:  

Tehát  

További példák:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Egy halmazrendszer, például egy topológia vagy σ-algebra az alapjukul szolgáló   tér, mint ponthalmaz   hatványhalmazának részhalmaza, azaz   eleme.

Tételek a hatványhalmazrólSzerkesztés

  • Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága  .
Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló   hatványozásra utaló jelölést.
  • Tétel(Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén   számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben:  .

  • Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören:  .

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

  • Állítás – Ha H halmaz, akkor a
  •   és   (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
  •   a  -val és  -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
  •   a   relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a   hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt  -algebra (szigma-algebra).

StruktúrájaSzerkesztés

A   tartalmazás reláció részben rendezés a hatványhalmazon, de nem teljes rendezés, ha a teljes halmaz legalább kételemű. A legkisebb elem az  , a legnagyobb a teljes halmaz.

A   részben rendezés teljes háló. Ez azt jelenti, hogy   minden részhalmazának van közös legnagyobb alsó korlátja és legkisebb felső korlátja. Konkrétan ez a metszet, illetve az unió. Jelben, ha  , akkor:

 

A legnagyobb, illetve legkisebb elemek legnagyobb alsó korlátja, illetve legkisebb felső korlátja:

 

Ha hozzávesszük a komplementerképzést, mint  , akkor   Boole-háló, azaz distributív és komplementeres háló.

Minden Boole-háló indukál egy egyértelmű kommutatív gyűrűszerkezetet, ez az úgynevezett Boole-gyűrű. Műveletei az   halmazon a szimmetrikus differencia, mint összeadás, és a metszet, mint szorzás. Az összeadás semleges eleme az üres halmaz, és a szorzás semleges eleme a teljes halmaz.

Karakterisztikus függvénySzerkesztés

Ha az alaphalmaz  , akkor minden   részhalmazhoz hozzárendelhető egy   karakterisztikus függvény, amelyre:

 

Ez bijekció   és   között. Ez motiválja a   és a   jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében   (általában:  )

Az   megfeleltetés tisztán bijekció, azonban megfelelő műveleteket definiálva izomorfizmussá tehető.

SzámosságaSzerkesztés

A következőkben   jelöli egy   halmaz számosságát.

  • Ha   véges, akkor  .
  • Minden halmazra teljesül Cantor tétele:  .

Végtelen   halmaz esetén is jelölik  -nel a   hatványhalmaz számosságát. Az általánosított kontinuumhipotézis szerint, ha az   halmaz végtelen, akkor az   számosság után az   a közvetlenül következő számosság:  

Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmaiSzerkesztés

Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a   kijelentésből képezett   halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz-axiómának nevezzük.

Zermelo–Fraenkel-axiómarendszerSzerkesztés

ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz-axiómának nevezzük a következő formulát:  

ahol   jelöli az   formulát.

Neumann–Bernays–Gödel-halmazelméletSzerkesztés

Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az   formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: „H halmaz”. Rövidítsük az  -t  -val. Ekkor a hatványhalmaz-axióma a következő formula:

 

Bourbaki-halmazelméletSzerkesztés

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén   jelöli az   formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha   tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz-axióma ekkor a következő formula:

 

ahol   jelöli az   formulát.

Hasonló konstrukciókSzerkesztés

Ha   egy halmaz, akkor   azt a halmazrendszert jelöli, mely az   halmaz  -nál kevesebb elemet tartalmazó részhalmazaiból áll. Például  . A teljes   halmaz hiányzik, hiszen nem tartalmaz kevesebb, mint három elemet.

A hatványképzés kiterjeszthető osztályokra is. Itt arra kell vigyázni, hogy valódi osztályok nem állhatnak az   reláció bal oldalán. Egy K osztály hatványa az az osztály, melynek elemei azok a halmazok, amelyek elemei mind K-beliek. Tehát a hatványhalmaz az osztály részhalmazaiból áll. Valódi osztály hatványhalmaza valódi osztály, mivel egyenként elemei a K elemeiből alkotott egyelemű halmazok, de nem eleme a teljes K osztály. Viszont az üres halmaz eleme.

Történeti adalékokSzerkesztés

Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra  . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség:  , ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a   összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

További információkSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Bourbaki halmazelméletérőlSzerkesztés

  • Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.

(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.

(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
  • Cikk a Bourbaki-csoportról

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Potenzmenge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.