Főmenü megnyitása

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

alakú végtelen összeg, ahol tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

  • egyedül a középpont
  • valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
  • az egész vagy .

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Tartalomjegyzék

KonvergenciasugárSzerkesztés

Az   körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit  -rel jelölve a hatványsor minden  -re konvergens, amire  . Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

 

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

 

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

  •   esetén a hatványsor abszolút konvergens
  • ha  , akkor divergens
  • hogyha  , akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
  • ha pedig  , akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden  -re, amire  .

MűveletekSzerkesztés

Összeadás és skalárral szorzásSzerkesztés

Ha   és   hatványsorok,

 
 

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a   és   hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

 
 

SzorzásSzerkesztés

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

 

ahol   az   és a   sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálásSzerkesztés

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:

 

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával

 

Hasonlóan számítható a primitív függvény:

 

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

PéldákSzerkesztés

  • A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
  • Exponenciális függvény:  ,
a konvergenciasugár végtelen
  • Logaritmus,  .
A konvergenciasugár 1;  -ben konvergens,  -re divergens
  • Négyzetgyök,  ,
a konvergenciasugár 1, és a sor  -ben és  -ben is konvergál
  • Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Lásd mégSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés