A Leibniz-féle jelölést használva, az behelyettesítés mindkét oldalát szerint deriválva megkapjuk a kifejezést, amely formálisan átírható a alakra, mely a kívánt behelyettesítést adja -re.
A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.
Az helyettesítéses integrálás levezethető az analízis alaptételéből, tehát a Newton–Leibniz-tételből:
Legyen és két függvény, melyek eleget tesznek a következőknek: folytonos az intervallumban, és is folytonos az zárt intervallumban. Ekkor az függvény is folytonos -ben. Ezekből következik, hogy a következő két integrál:
létezik. Mivel folytonos, rendelkezik egy antideriválttal, és definiálható az függvénykompozíció. Mivel és legalább egyszer differenciálható, a láncszabály értelmében:
Az analízis alaptételének kétszeri alkalmazása bizonyítja, hogy a két integrál egyenlő:
tehát bizonyítja a helyettesítési szabály helyességét is.
Ha elvégezzük az behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: és
Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó határpontot (az -t) az kifejezéssel, valamint a felső határpontot (az -t) az kifejezéssel helyettesítettük, az visszahelyettesítése szükségtelen.
A következő integrál kiértékeléséhez érdemes a helyettesítést jobbról balra alkalmazni:
Az behelyettesítés hasznos, mivel így , és -re teljesül . A behelyettesítést elvégezve a következő eredményt kapjuk:
A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:
Legyen adott egy valószínűségi változó valószínűség-sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó , mely -hez az egyenlettel kapcsolódik, ahol egy injekció. A keresett mennyiség valószínűség-sűrűsége.
A kérdés megválaszolható, ha előtte kiszámítjuk azt, hogy mi a valószínűsége annak, hogy egy bizonyos részhalmazon nemnulla értéket vesz fel. Jelöljük ezt a valószínűséget -ként.
Ha valószínűségi sűrűsége , akkor a keresett mennyiség
akkor vesz fel nemnulla értéket az halmazon, ha nemnulla értéket vesz fel a halmazon, tehát
Az integrálban az változó helyére -t behelyettesítve
Ezt a kifejezést egyenlővé téve a definíciójával a következőt kapjuk:
Ebből következik, hogy:
Abban az esetben, ha és több korrelálatlan változótól függ, azaz és , -t többváltozós behelyettesítéssel kapjuk meg, melynek eredménye