Helyettesítéses integrálás

matematikai módszer integrálszámításra
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. szeptember 26.

A helyettesítéses integrálás egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására vagy primitív függvényének meghatározására. A differenciálszámítás láncszabályának ellenpárja.

Legyen egy intervallum, és egy folytonos, legalább egyszer differenciálható függvény. Tegyük fel, hogy egy folytonos függvény, akkor:

A Leibniz-féle jelölést használva, az behelyettesítés mindkét oldalát szerint deriválva megkapjuk a kifejezést, amely formálisan átírható a alakra, mely a kívánt behelyettesítést adja -re.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.

Kapcsolat az analízis alaptételével

szerkesztés

Az helyettesítéses integrálás levezethető az analízis alaptételéből, tehát a Newton–Leibniz-tételből:

Legyen   és   két függvény, melyek eleget tesznek a következőknek:   folytonos az   intervallumban, és   is folytonos az   zárt intervallumban. Ekkor az   függvény is folytonos  -ben. Ezekből következik, hogy a következő két integrál:

 
 

létezik. Mivel   folytonos, rendelkezik egy   antideriválttal, és definiálható az   függvénykompozíció. Mivel   és   legalább egyszer differenciálható, a láncszabály értelmében:

 

Az analízis alaptételének kétszeri alkalmazása bizonyítja, hogy a két integrál egyenlő:

 

tehát bizonyítja a helyettesítési szabály helyességét is.

Tekintsük a következő integrált:

 

Ha elvégezzük az   behelyettesítést, azt kapjuk, hogy:   és

 

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó határpontot (az  -t) az   kifejezéssel, valamint a felső határpontot (az  -t) az   kifejezéssel helyettesítettük, az   visszahelyettesítése szükségtelen.

A következő integrál kiértékeléséhez érdemes a helyettesítést jobbról balra alkalmazni:

 

Az   behelyettesítés hasznos, mivel így  , és  -re teljesül  . A behelyettesítést elvégezve a következő eredményt kapjuk:

 

A   integrálja kiszámítható parciális integrálással és trigonometrikus azonosságok alkalmazásával.

Antideriváltak

szerkesztés

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:

 

ahol   tetszőleges integrálási konstans.

Mivel nem volt integrálási határpont (tehát az integrál határozatlan), az utolsó lépésben szükséges megfordítani az eredeti helyettesítést:  .

Alkalmazás a valószínűségszámításban

szerkesztés

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:

Legyen adott egy   valószínűségi változó   valószínűség-sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó  , mely  -hez az   egyenlettel kapcsolódik, ahol   egy injekció. A keresett mennyiség   valószínűség-sűrűsége.

A kérdés megválaszolható, ha előtte kiszámítjuk azt, hogy mi a valószínűsége annak, hogy   egy bizonyos   részhalmazon nemnulla értéket vesz fel. Jelöljük ezt a valószínűséget  -ként.

Ha   valószínűségi sűrűsége  , akkor a keresett mennyiség

 

  akkor vesz fel nemnulla értéket az   halmazon, ha   nemnulla értéket vesz fel a   halmazon, tehát

 

Az integrálban az   változó helyére  -t behelyettesítve

 

Ezt a kifejezést egyenlővé téve a   definíciójával a következőt kapjuk:

 

Ebből következik, hogy:

 

Abban az esetben, ha   és   több korrelálatlan változótól függ, azaz   és  ,  -t többváltozós behelyettesítéssel kapjuk meg, melynek eredménye

 
  • Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl. Real and abstract analysis. Springer-Verlag (1965). ISBN 978-0387045597. 
  • Katz, V.. Change of variables in multiple integrals – Euler to Cartan. Mathematics Magazine 55 (1982). ISBN 978-0387045597. 
  • Reiman István. Matematika. Typotex Kft (2011). ISBN 9789632793009 
  • Gerőcs L.; Dr. Vancsó Ödön. Matematika. Akadémia Kiadó Zrt. (2010). ISBN 9789630584883 

Kapcsolódó szócikkek

szerkesztés