Ideál (gyűrűelmélet)

számelméleti és topológiai fogalom
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. március 20.

Az absztrakt algebra gyűrűelmélet nevű ágában ideálnak nevezzük az gyűrű részhalmazát, ha részgyűrűje -nek és minden -re és . Ezt a kapcsolatot és között az szimbólummal jelöljük.

Az egész számok gyűrűjében a héttel osztható számok ideált alkotnak, hiszen egy héttel osztható számot valamilyen egész számmal megszorozva ismét héttel osztható számot kapunk.

A   intervallumon értelmezett, folytonos egyváltozós valós függvények gyűrűjében ideált alkotnak azok az   függvények, amelyekre  .

Alaptulajdonságok

szerkesztés

Tetszőleges gyűrű ideál saját magában (azaz   mindig fennáll), és bármely gyűrűben ideál a pusztán a nullelemből álló zérógyűrű. Ezeket gyakran triviális ideálnak, az ezektől különböző ideálokat pedig valódi ideálnak nevezzük. Egyszerű gyűrű az olyan gyűrű, amelynek csak triviális ideáljai vannak. Ha egy ideál tartalmaz egy egységet, akkor triviális ideál. Minden ferdetest egyszerű gyűrű, hiszen ferdetestben minden nemnulla elem egység. Ideálok metszete maga is ideál.

Az ideál nem tranzitív reláció, azaz ha   és  , abból nem következik, hogy  . Ezt támasztja alá a következő ellenpélda. Legyen   az egyváltozós valós polinomok gyűrűje. Legyen I azon R-beli elemek halmaza, ahol a konstans és a lineáris tag együtthatója 0; végül legyen J azon I-beli polinomok halmaza, ahol még a köbös tag együtthatója is 0. Ekkor J ideált alkot I-ben, I pedig R-ben, azonban J csak részgyűrűje, de nem ideálja R-nek. Valóban,  , de  .

Balideál, jobbideál

szerkesztés

Ha   nem kommutatív, akkor vizsgálhatjuk   azon   részgyűrűit, amelyekre   esetén teljesül   (de   nem feltétlenül). Az ilyen   részgyűrűket balideálnak nevezzük. Hasonlóan, ha   esetén teljesül  , akkor  -t jobbideálnak nevezzük. Néha a bal- illetve a jobbidáloktól való különbséget hangsúlyozandó az ideálokat kétoldali ideálnak is nevezzük. I akkor és csak akkor kétoldali ideál, ha egyszerre balideál és jobbideál is.

A valós számtest feletti 2×2-es mátrixok gyűrűjében balideált (de nem jobbideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek a második oszlopában csupa 0 áll. Ugyanebben a gyűrűben jobbideált (de nem balideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek második sorában csupa 0 áll.

Ideálok és homomorfizmusok kapcsolata

szerkesztés

Tetszőleges gyűrűhomomorfizmus magja ideál, és megfordítva, minden ideál előáll egy gyűrűhomomorfizmus magjaként. Ha   a zérógyűrű, akkor   izomorfizmus.

További információk

szerkesztés