Az inflexiós pont (vagy hajlási pont) a függvénytanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe, vagy fordítva. A gyakorlati életben ha az ember egy járművel hajtana végig a görbén, akkor egy pillanatig egyenes lenne a kormány, miközben a jármű jobbról balra, vagy balról jobbra fordul.

Az f(x) = x3 függvény inflexiós pontja a (0,0)-ban van. Az x = 0 pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az f'(x) > 0 minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő
Az x3 + 2x2 függvény inflexiós pontja, és az inflexiós pontban a függvényhez húzott érintő

Az alábbi definíciók ekvivalensek:

  • Ha az függvénynek pontban inflexiós pontja van, akkor az első deriváltjának -ban szélsőértéke van: minimum vagy maximum (lehet csak helyi szélsőérték is)
  • Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a második derivált előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a második derivált függvényértéke nulla ).
  • A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha érintőt húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban. Ezt könnyű belátni, ugyanis a konvex és konkáv része a grafikonnak csak az érintő különböző oldalán lehet.

Feltételek az inflexiós pont létezéséhezSzerkesztés

Szükséges feltételekSzerkesztés

  •   legyen az   pont egy környezetében kétszer differenciálható
  •   az inflexiós pont,
    ekkor:

 

Elégséges feltételekSzerkesztés

  •   függvény második deriváltja előjelet vált   pontban. Ha   pozitívból negatívba vált az inflexiós pontban, akkor   konvexből konkávba vált, ha   negatívból pozitívba vált, akkor pedig   konkávból konvexbe megy át.
  • Legyen az   függvény   pont egy környezetében háromszor differenciálható. Ekkor ha   és  , akkor   inflexiós pont. Ha az  , akkor a függvénygörbe konkávból konvexbe, ha pedig   akkor konvexből konkávba vált.

Az inflexiós pont egy speciális, magasabb dimenziókban előforduló fajtája a nyeregpont.

Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla:  , de ez a feltétel (szükséges feltétel) önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.

PéldaSzerkesztés

 

A függvény második deriváltja:

 

Ekkor teljesülnie kell, hogy:

 

Az eredmény  . (Itt lehet inflexiós pontja  -nek.)

Egyúttal

 

ami nem 0, azaz a függvénynek itt inflexiós pontja van.

Különleges esetekSzerkesztés

  •  
    Ennek a függvénynek a grafikonja görbületet vált az   pontban konvexből konkávba. Ennek ellenére ez nem inflexiós pont, mivel itt az első derivált nem létezik, tehát szélsőértéke sem lehet.
  •  
    Ennek a függvénynek az   pontban inflexiós pontja van, bár a nem létezik az  . Ennek ellenére az első deriváltnak,  -nek  -ban minimuma van.