Inverz hiperbolikus függvények

Az inverz hiperbolikus függvények – más néven area hiperbolikus függvények – a hiperbolikus függvények inverzei. Az area név onnan ered, hogy értékük – ha valós és nemnegatív – megegyezik a derékszögű koordináta-rendszerben felrajzolt hiperbola, valamint két – az argumentumtól függő – origón átmenő, ellentett meredekségű egyenes által határolt terület nagyságával.

A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei
Az arsh (area hiperbolikus szinusz) függvény
Az arch (area hiperbolikus koszinusz) függvény
Az arth (area hiperbolikus tangens) függvény
Az arcth (area hiperbolikus kotangens) függvény
Megjegyzés: Ugyanez az inverz trigonometrikus függvényekről is elmondható, azzal a különbséggel, hogy ott az egyenletű egységkör szerepel. Az inverz trigonometrikus függvények esetében azonban (a körívhossz és körcikkterület arányossága miatt) a függvényértékre nemcsak mint területre, hanem mint ívhosszra is gondolhatunk, ezért jelölik őket arc (arcus, ív) előtaggal.

JelölésükSzerkesztés

Az area hiperbolikus szinusz példáján bemutatva:

  • A legelterjedtebb jelölés az arsh illetve az arsinh.
  • A számítástechnikában leggyakrabban asinh-val jelölik.
  • Az sh-1 jelölés szintén használatos, de ügyelni kell arra, hogy a -1 ne legyen összetéveszthető a reciprokképzéssel.
  • Az arcsinh forma is gyakori, annak ellenére, hogy az arc rövidítés az arcus, azaz ív szó helyett áll, a hiperbolikus függvények pedig területnagysághoz kapcsolódnak, ívhosszhoz nem. Ezért helyesebb az ar jelölést használni, ami az area, azaz a terület szóból ered.

KiszámításukSzerkesztés

Az area-függvények megkaphatók bizonyos irracionális kifejezések logaritmusaként:

 
 
 
 
 
 

A fenti képletek a komplex számok körében is érvényesek. Ebben az esetben ügyelni kell arra, hogy a logaritmus és a négyzetgyök főértékével (principálisával) számoljunk és akkor a függvényérték esetén is a főértéket kapjuk. Erre azért van szükség, mert az area-függvények a komplex számok halmazán nem egyértékűek, hiszen a komplexek között az exponenciális függvény periodikus.

TulajdonságaikSzerkesztés

Areasinus hyperbolicus és areacosinus hyperbolicusSzerkesztés

  • A valós areasinus hyperbolicus minden valós számra értelmezett. A valós areacosinus hyperbolicus csak az   számokra értelmes.
  • A valós areasinus hyperbolicus értékkészlete a valós számok halmaza. A valós areacosinus hyperbolicus értékkészlete a nemnegatív számok halmaza.
  • Szigorúan monoton növő függvények.
  • Nem periodikusak. A valós areasinus hyperbolicus páratlan függvény.
  • A valós areasinus hyperbolicusnak inflexiós pontja van az   helyen.
  • A valós areasinus hyperbolicus nullhelye  -ben, a valós areacosinus hyperbolicusé  -ben van.

Areatangens hyperbolicus és areacotangens hyperbolicusSzerkesztés

  • A valós areatangens hyperbolicus értelmezett a   szakaszon. Nullhelye a nullában van, ami inflexiós pont is. A valós areacotangens hyperbolicus értelmezési tartománya két félegyenes uniója:  .
  • A valós areatangens hyperbolicus értékkészlete a valós számok halmaza. A valós areacotangens hyperbolicus értékkészlete a valós számok halmaza, kivéve a nullát.
  • A valós areatangens hyperbolicus szigorúan monoton nő. A valós areacotangens hyperbolicus szigorúan monoton csökken a   és a   tartományon is.
  • Nem periodikus, páratlan függvények.
  • A valós areatangens hyperbolicus aszimptotái:  , és  . A valós areacotangens hyperbolicus aszimptotái:  
  • Pólusaik vannak az   helyen.

Areasecans hyperbolicus és areacosecans hyperbolicusSzerkesztés

  • A valós areasecans hyperbolicus értelmezett az   számokon. A valós areacosecans hyperbolicus értelmezési tartománya  .
  • A valós areasecans hyperbolicus értékkészlete:  . A valós areacosecans hyperbolicus értékkészlete:  .
  • A valós areasecans hyperbolicus szigorúan monoton csökken. A valós areacosecans hyperbolicus szigorúan monoton csökken a negatív, illetve a pozitív számokon.
  • Nem periodikusak. A valós areacosecans hyperbolicus páratlan függvény.
  • A valós areasecans hyperbolicus inflexiós pontja  .

Nullhelye  .

  • A valós areasecans hyperbolicus aszimptotája    ;  . valós areacosecans hyperbolicus aszimptotája    ;  

Algebrai összefüggésekSzerkesztés

Teljesülnek a következők:

 

ahol   a szignumfüggvény. Ha  , akkor:

 
 


 
 
 
 
 
 

ahol   aranymetszés.

SorfejtésükSzerkesztés

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

DeriváltjaikSzerkesztés

 

Valós x értékekre:

 

Példaként nézzük a következőt: θ = arsh x, így:

 

Határozatlan integrálokSzerkesztés

 
 
 
 
 
 

Numerikus számításokSzerkesztés

Az areasinus hyperbolicus számítható az   képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz:

  • Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja
  • Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.

A következőkben feltesszük, hogy  . Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók:

  •   akkora pozitív szám, hogy  :
 

ahol   a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

A képlet a következő meggondolásból adódik:
  a legkisebb pozitív szám, amikor az utolsó számjegy még pontosan elmentődik, így   teljesül. Kiszámoljuk azt az  -et, amettől kezdve  . Kijön, hogy ez   esetén van így, ahonnan  . Ebben az esetben helyettesíthető    -tel:
  
  •   a nullához közeli kis pozitív szám. Ekkor a Taylor-sor alkalmazható. Például, ha  :
 
  • Általános eset: számolhatunk az eredeti képlettel:
 

Az areacosinus hyperbolicus számítható az   képlettel. Ez azonban nagy abszolútértékű helyeken gondot okoz, mivel túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja. A kis értékek nem okoznak alulcsordulást, mivel a nulla közelében a függvény nem definiált.

  •   akkora pozitív szám, hogy  :
 

ahol   a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

  •   esetén a függvény nem definiált.
  • Általános esetben, azaz ha  :
 

ForrásokSzerkesztés

Külső hivatkozásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.