Izomorfia

(Izomorfizmus szócikkből átirányítva)

Az izomorfia két matematikai struktúrának az a tulajdonsága (kölcsönös viszonya[1]), hogy elemeik a strukturális tulajdonságokat megőrizve egymásra kölcsönösen egyértelműen (bijektíven) leképezhetők. A struktúramegőrző és kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezést, amely az izomorfia létét bizonyítja, nevezzük izomorfizmusnak.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a két struktúra „tulajdonképpen” ugyanaz, csak az elemeik másképp vannak elnevezve, jelölve.

Az izomorfia a modern algebra alapvető fogalma. Két halmaz, amelyeken ugyanolyan algebrai struktúra (például csoport, gyűrű stb.) van értelmezve, izomorf, ha megadható a két halmaznak olyan egymásra való kölcsönösen egyértelmű leképezése, amely a struktúra műveleteivel összhangban van.

EtimológiaSzerkesztés

Az „izomorf” szó az ógörög ἴσος [iszosz], am. „egyenlő”, és a μορφή [morfé], am. „forma” vagy „alak” szavak összetétele.

PéldákSzerkesztés

  • Ha adott az   struktúra, vagyis a természetes számok halmaza az összeadással, továbbá a   struktúra, vagyis a páros természetes számok halmaza az összeadással, akkor az   algebrai leképezés egy izomorfizmus, és így a két struktúra algebrailag izomorf. A leképezés ugyanis 1) kölcsönösen egyértelmű, hiszen minden természetes számnak van kétszerese, mégpedig pontosan egy; továbbá 2) művelettartó, vagyis struktúramegőrző, mert   Tehát az f függvény „megőrzi” a műveletet: ha az egyik struktúrában két elem összege valami, akkor ennek képe a másik struktúrában a két elem képének összege.
  • Két csoport,   és   izomorf, ha megadható  -nek olyan  -re való kölcsönösen egyértelmű leképezése, hogyha   a, b és c elemeinek  -ben megfelelő elemeket a', b' és c' jelölik és ab = c, akkor a'b' = c'. Más szóval   két eleme szorzatának „képe”  -ben a két elem  -beli „képének” szorzatával egyenlő. Ha a képhalmaz azonos az eredeti halmazzal, az izomorfizmust automorfizmusnak nevezzük.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Ha a matematikai struktúrákat egy előre rögzített alaphalmazból vesszük, ez a viszony matematikai szempontból relációnak tekinthető.

ForrásokSzerkesztés

További információkSzerkesztés

Kapcsolódó oldalakSzerkesztés