Legyen
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező differenciálható függvény. (Ha n = m , akkor f egy vektormezőt határoz meg.) Ekkor a vektorértékű
f
:
x
↦
y
{\displaystyle f:\mathbf {x} \mapsto \mathbf {y} }
f
:
(
x
1
⋮
x
n
)
⟼
(
f
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⋮
f
m
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
{\displaystyle f:{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}}
azaz
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
(
f
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
f
2
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
…
,
f
m
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left(f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\right)}
ahol f 1 , f 2 , ... , f m n -változós függvények, azaz
f
i
:
R
n
→
R
{\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
i = 1, 2, ..., m ).
Ezen m darab n -változós függvény parciális deriváltjaiból egy m ×n -es mátrixot képezhetünk:
J
=
[
∂
f
1
∂
x
1
⋯
∂
f
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
⋯
∂
f
m
∂
x
n
]
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak, melynek elemei maguk is skalár-értékű n -változós függvények.
Felírható még úgy is, hogy
J
=
(
grad
f
1
⋮
grad
f
m
)
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}\operatorname {grad} f_{1}\\\vdots \\\operatorname {grad} f_{m}\end{pmatrix}}}
ahol grad(.) a gradiensfüggvény .
Továbbá J egy
R
n
→
R
m
×
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m\times n}}
a
↦
J
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {a} \mapsto J(\mathbf {a} )}
J (a ) egy konkrét számokat tartalmazó m ×n -es mátrix lesz, ha egy adott a = (a 1 , a 2 , ... , a n
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
J minden egyes (i , j ) pozícióban lévő
∂
f
i
∂
x
j
{\displaystyle {\dfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}
J
(
a
)
:=
(
∂
f
i
∂
x
j
(
a
)
)
i
=
1
,
…
,
m
;
j
=
1
,
…
,
n
=
(
∂
f
1
∂
x
1
(
a
)
∂
f
1
∂
x
2
(
a
)
…
∂
f
1
∂
x
n
(
a
)
⋮
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
(
a
)
∂
f
m
∂
x
2
(
a
)
…
∂
f
m
∂
x
n
(
a
)
)
{\displaystyle J(\mathbf {a} ):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} )\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(\mathbf {a} )&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(\mathbf {a} )&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}}
A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa .
Legyen
f
:
R
3
→
R
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
2
+
y
2
+
z
⋅
sin
(
x
)
z
2
+
z
⋅
sin
(
y
)
)
{\displaystyle f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin(x)\\z^{2}+z\cdot \sin(y)\end{array}}\right)}
képlettel megadott háromváltozós függvény.
Akkor
∂
∂
x
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
x
+
z
⋅
cos
(
x
)
0
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2x+z\cdot \cos(x)\\0\end{array}}\right),\;\;}
∂
∂
y
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
y
z
⋅
cos
(
y
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2y\\z\cdot \cos(y)\end{array}}\right),\;\;}
∂
∂
z
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
sin
(
x
)
2
z
+
sin
(
y
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}\sin(x)\\2z+\sin(y)\end{array}}\right)}
és így a függvény Jacobi-mátrixa
D
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
x
+
z
⋅
cos
(
x
)
2
y
sin
(
x
)
0
z
⋅
cos
(
y
)
2
z
+
sin
(
y
)
)
{\displaystyle Df(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos(x)&2y&\sin(x)\\0&z\cdot \cos(y)&2z+\sin(y)\end{array}}\right)}
Ha az összes f 1 , f 2 , ... , f m lineáris , akkor J -ben az összes parciális derivált konstans, J egy közönséges mátrix, J (a ) pedig nem függ a -tól.
