Körülfordulási szám

A körülfordulási szám, más néven index görbék topológiai invariánsa, ami a komplex analízisben is meghatározó.

Informálisan, a körülfordulási szám azt adja meg, hogy az adott görbe hányszor kerül meg egy adott pontot. A megkerülést előjelesen kell értelmezni, ahol az óramutató járásával ellentétes irány pozitív, az óramutató szerinti negatív.

DefinícióSzerkesztés

Komplex számsíkba ágyazott zárt görbe esetén a körülfordulási szám értelmezhető a következőképpen: Legyen   zárt görbe a   síkban, és   komplex szám, ami nincs rajta a   görbén! Ekkor     körüli körülfordulási száma

 

A körülfordulási szám mindig egész, és értelmezhető topológiai eszközökkel is.

Körülfordulási szám = 1 Körülfordulási szám = -1 Körülfordulási szám = 0 Körülfordulási szám = 1 Körülfordulási szám = 2

 

 

 

 

 

KiszámításaSzerkesztés

 
Körülfordulási szám=2
 
Körülfordulási szám=0

Nem mindig alkalmazható az intuitív kiszámítási mód, hogy a pozitív forgásirányú körüljárások számából levonjuk a negatív forgásirányú körüljárások számát.

A képlet levezetéséhez tekintsük az egységkört!

 

Jelölje   a körvonal belsejét! Ekkor intuitívan   minden   és   minden   komplex számra. Ez utóbbi a Cauchy-féle integráltétel és a definíció következménye. Most legyen

 

Teljesül, hogy

 

A deriválás és az integrálás felcserélésével

 

és mivel az   az integrandus primitív függvénye,  . Továbbá   összefüggősége miatt   minden   esetén.

Alkalmazás a komplex analízisbenSzerkesztés

A körülfordulási számot legtöbbször görbe menti integrálok kiszámítására használják. Legyen

 

meromorf, és szingularitásait jelölje  ! Ekkor a reziduumtétel miatt   integrálja egy, a szingularitásokat elkerülő   görbe menti integrálja

 

AlgoritmusSzerkesztés

Az algoritmikus geometriában a körülfordulási számot arra használják, hogy eldöntsék, hogy egy pont egy nem egyszerű sokszögön belül van-e. Egyszerű sokszögek esetén az eljárás a páros-páratlan szabályra egyszerűsíthető.

Sokszögekre általános esetben a következő algoritmus alkalmazható:

1. Keresünk egy félegyenest, ami nem megy át a sokszög csúcsain.
2. Legyen  
3. A félegyenes és a sokszögvonal összes metszéspontjára:
  • Ha az elmetszett él jobbról balra van irányítva, azaz a pont az él bal oldalán van, akkor növeljük  -t eggyel.
  • Ha az elmetszett él balról jobbra van irányítva, azaz a pont az él jobb oldalán van, akkor csökkentjük  -t eggyel.
4. Miután az összes elmetszett élt végignéztük,   éppen a körülfordulási szám. Ha ez nulla, akkor a pont a sokszögön kívül van, különben belül.

Hasonlóan lehet nem egyenes szakaszokból álló zárt görbékre elvégezni a vizsgálatot, de ekkor nem adódik olyan triviálisan a metszéspontok vizsgálata.

Magasabb dimenziós sokaságokonSzerkesztés

Magasabb dimenziós sokaságokra Nyikolaj Nyikolajevics Bogoljubov általánosította a körülfordulási számot. A Stokes-tétel alkalmazásával a   pontra kapjuk, hogy

 

ahol   egységgömb  -ben, és   az   dimenziós sokaság, amin integrálunk.

ForrásokSzerkesztés

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Windungszahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információkSzerkesztés