Ez a szócikk a halmazelméleti tételről szól. A gráfelméletiről a Kőnig-tétel (gráfelmélet) szócikkben olvashatsz.

A Kőnig-egyenlőtlenség a halmazelmélet egyik tétele, amely Kőnig Gyula matematikustól származik. A tétel szerint ha a kiválasztási axióma igaz, tetszőleges indexhalmaz, és számosságok minden értékre, amire teljesül minden esetén, akkor

ahol a bal oldalon az számosságok összege, a jobb oldalon az számosságok szorzata áll.

E tétel következménye, hogy teljesül minden végtelen számosságra. Innen adódik minden , számosságra, speciálisan .

BizonyításaSzerkesztés

Legyen  ,   két, páronként diszjunkt halmazok sorozata, amire  . Elég belátni, hogy van egy injektív, de nem bijektív  

Legyen   elem  -ből  -re. Legyen továbbá  . Ekkor egyértelműen van egy  , hogy  . Legyen   az a függvény, amire  . Ekkor   injektív.

Adva legyen most egy  , és definiáljuk  -t minden  -re   elemeként. Ekkor   az   helyen különbözik    -beli képétől. Mivel ez minden  -re teljesül,   nem szürjektív, és így nem bijektív.

ForrásokSzerkesztés

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kőnig Gyula: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von König (Mengenlehre) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.