A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a khí-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.[1]

A khí-eloszlás standard normális eloszlású, független, véletlenszerű változók négyzetei összegének a négyzetgyöke.

A legismertebb példa a khí-eloszlásra, a normalizált molekuláris sebességek Maxwell eloszlása, 3 szabadságfokkal (egy szabadságfok , minden térbeli koordinátára).[2]

Ha k független, normális eloszlású véletlenszerű változók, középértékkel, és szórással, akkor a statisztika

khí-eloszlású lesz. A khí-eloszlásnak a paramétere a szabadságfokok számát határozza meg (azaz a számát).

JellemzőkSzerkesztés

 
Khí valószínűségsűrűség-függvény
 
Kumulatív eloszlásfüggvény

Valószínűségsűrűség-függvénySzerkesztés

A valószínűségsűrűség-függvény:

 

ahol   a gamma-függvény.

Kumulatív eloszlásfüggvénySzerkesztés

A kumulatív eloszlásfüggvény:

 

ahol   a szabályozott gamma-függvény.

FüggvénygenerálásSzerkesztés

Momentum-generáló függvénySzerkesztés

A momentum-generáló függvény:

 
 

Karakterisztikus függvénySzerkesztés

A karakterisztikus függvény:

 
 

ahol   Kummer hipergeometrikus függvénye.

TulajdonságokSzerkesztés

MomentumokSzerkesztés

A nyers momentumok:

 

ahol   a Gamma-függvény. Az első nyers momentumok:

 
 
 
 
 
 

ahol a jobb oldali kifejezések származtatása a gamma-függvényből ered:

 

Ezekből a kifejezésekből a következő összefüggéseket származtathatjuk:

Középérték:

 

Szórásnégyzet:

 

Torzulás:

 

Többlet lapultság:  

EntrópiaSzerkesztés

Az entrópia:

 

ahol   a poligamma-függvény.

Kapcsolódó eloszlásokSzerkesztés

  • Ha   akkor   (Khí-négyzet eloszlás)
  •   (normális eloszlás)
  • If   then   (fél-normális eloszlás) for any  
  •   (Rayleigh-eloszlás)
  •   (Maxwell-eloszlás)
  •   (Az n standard normális eloszlás változói normája, a khí-eloszlás k szabadságfokkal.
  • a khí-eloszlás az általánosított gamma-eloszlás speciális esete.
Különböző khí and khí-négyzet eloszlások
Név Statisztika
Khí-négyzet eloszlás  
nem centrális khí-négyzet eloszlás  
khí-eloszlás  
nem centrális khí-eloszlás  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés