Kifejtési tétel
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
A kifejtési tétel a mátrixok determinánsának kiszámítására használható matematikai tétel. Eszerint egy n × n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetszőleges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. (Ilyenkor beszélünk a determináns valamely i-edik sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéséről.)
Előjeles aldetermináns
szerkesztésVegyünk egy n × n-es mátrixot. Ha elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, akkor egy (n–1)×(n–1)-es mátrix keletkezik. Az említett sor és oszlop metszéspontjában található elemhez tartozó előjeles aldetermináns nem más, mint a keletkezett (n–1)×(n–1)-es részmátrix determinánsának -szerese. Az aldeterminánsokat a megfelelő előjellel és a megfelelő elemmel összeszorozva és összegezve kapjuk a mátrix determinánsát.
A kifejezés –1 vagy +1 értéke megadja, hogy az aldetermináns átfordul-e vagy sem az ellentettjére. Könnyű megjegyezni: a bal fölső sarokban lévő elem esetén mindig +1, és utána sakktáblaszerűen váltakozva következik a –1 és a +1. Például 6×6-os esetben:
Példa
szerkesztésAz
mátrix determinánsát szeretnénk a mátrix 4. sora szerint kifejteni. A megoldás
mert mondjuk az a45 elemhez tartozó aldetermináns meghatározásához elhagyjuk a 4. sort és az 5. oszlopot a mátrixból:
A kapott mátrixot jelöljük A45-tel:
Ezután kiszámítjuk az A45 determinánsának az értékét:
Hasonlóan számoljuk ki az A mátrix 4. sorának többi eleméhez tartozó aldeterminánst is.
Az a45 elemhez tartozó előjel – (mivel (–1)4+5=(–1)9=–1), így az aldeterminánst –1-gyel megszorozva kell hozzáadni az összeghez.
A fenti táblázat 4. sorából is megkaphatjuk a többi aldeterminánshoz tartozó előjelet:
és így lesz az eredmény még egyszer leírva
Több sor vagy oszlop szerint
szerkesztésA kifejtés egyszerre több sor és oszlop szerint is végezhető.
Példa: egy 5 x 5-ös mátrix determinánsa a második és az ötödik sor szerint kifejtve:
Az első mátrix előjele például azért pozitív, mert sor- és oszlopindexeinek összege 10, ami páros. Itt az együttható mátrixban szereplő összes index számít.
Ferde kifejtés
szerkesztésFerde kifejtésnek nevezzük az alakú szorzatokat.
A ferde kifejtés tétele szerint ezek a szorzatok nem számítanak bele a mátrix determinánsába.
Megjegyzés
szerkesztésProgramozói szempontból a kifejtési tétel alkalmazásánál sokkal célravezetőbb a Gauss-eliminációval való lépcsős alakra hozás (alsó vagy felső háromszögmátrix elég), majd a főátlóban lévő elemek összeszorzása. Ugyanis a kifejtés során annyira felhalmozódnak a számítási hibák, hogy elvész a numerikus információ.
Források
szerkesztés- Pelikán József: Algebra
- Scharnitzky Tibor: Mátrixszámítás (Műszaki, 1986) ISBN 963 1067 64 5
- Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek I. (ELTE–Typotex, 1993) ISBN 963 7546 31 6