Kommutativitás

A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha minden $a,b\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot b=b\cdot a$, akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet kommutatív a $(A;\cdot )$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Kommutatív $(A;\cdot )$ félcsoportokban teljesül az általános kommutativitás tétele, azaz tetszőleges $a_{1},...,a_{n}\in A$ elemekre az $a_{1}\cdot ...\cdot a_{n}\in A$ szorzat eredménye független az $a_{1},...,a_{n}$ tényezők sorrendjétől.

Példák

• A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek kommutatívak.
• A valós számokon értelmezett kivonás művelet nem kommutatív: pl. $3-5\neq 5-3$.
• A nullától különböző valós számokon értelmezett osztás sem kommutatív: pl. ${\frac {3}{8}}\neq {\frac {8}{3}}$.
• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.
• A leképezések szorzása (függvénykompozíció) nem kommutatív: pl. $\sin(\cos(\pi ))\neq \cos(\sin(\pi ))$.

Kommutatív struktúrák

• Abel-csoport

További információk

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

Kapcsolódó szócikkek

• Asszociativitás
• Disztributivitás
• Antikommutativitás

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994