Főmenü megnyitása

A topológiában kompaktnak nevezünk egy halmazt, ha minden nyílt fedéséből kiválasztható véges fedés.[1] A kompaktság alapvető fontosságú fogalom a topológiában. Motivációját a Borel–Lebesgue-tétel adja.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   egy topologikus tér és  . Nyílt halmazok egy   családját   nyílt fedésének hívjuk, ha  .  -t kompaktnak nevezzük, ha minden ilyen nyílt fedésből kiválasztható véges nyílt fedés.   kompakt tér, ha   maga kompakt halmaz.

PéldákSzerkesztés

Nyilvánvalóan minden véges halmaz kompakt, és kompakt halmazhoz véges sok pontot hozzávéve még mindig kompakt halmazt kapunk.

Kompakt a valós számegyenes   zárt intervalluma a Borel–Lebesgue-tétel értelmében.

Kompakt tetszőleges halmaz az indiszkrét topológiával. Nem kompaktak a végtelen halmazok a diszkrét topológiával.

Nem kompakt a valós számok halmaza, mert bár lefedi az egységnyi hosszúságú nyílt intervallumok családja, ebből a lefedésből nem választható ki véges fedés, hiszen minden egységnyi hosszúságú nyílt intervallum legfeljebb egy egész számot tartalmazhat.

A kompaktsággal rokon fogalmakSzerkesztés

Kompakt halmazok uniói általában nem kompaktak. Például a valós számok (nem kompakt) halmaza előáll egész végpontú zárt (és így kompakt) intervallumok uniójaként. Ez motiválja a σ-kompaktság fogalmát: σ-kompakt egy halmaz, ha előáll megszámlálhatóan sok kompakt halmaz uniójaként. Minden kompakt halmaz egyben σ-kompakt is; a valós számok halmaza a példa arra, hogy a megfordítás nem igaz.[1]

Ha egy topologikus térben minden nyílt fedésből kiválasztható megszámlálható fedés, akkor a teret Lindelöf-térnek nevezzük. Minden σ-kompakt tér egyben Lindelöf-tér is, tehát a kompakt terek maguk is Lindelöf-terek. Van azonban olyan Lindelöf-tér, amely nem σ-kompakt, és így nem is kompakt.[1]

Megszámlálhatóan kompakt tér az olyan topologikus tér, amelyben minden megszámlálható nyílt fedésből kiválasztható véges fedés. Mivel ez megint csak gyengébb feltétel a kompaktságnál, minden kompakt tér egyben megszámlálhatóan kompakt is. A megfordítás nem igaz.[1]

KompaktifikációSzerkesztés

Kompaktifikációnak nevezzük az olyan eljárásokat, amelyek segítségével egy nem kompakt teret kibővítünk úgy, hogy a kibővített halmaz már kompakt, és az eredeti halmaz sűrű altere a kibővített halmaznak. Gyakran említett kompaktifikációs eljárás az egypont-kompaktifikáció (más néven Alekszandrov-kompaktifikáció vagy Alekszandrov-bővítés) és a Stone–Čech-kompaktifikáció.

ForrásokSzerkesztés

  1. a b c d Steen, Lynn A., J. Arthur Seebach. Counterexamples in Topology, Second edition (angol nyelven), New York: Springer-Verlag (1978). ISBN 0-387-90312-7