Konvex és konkáv függvény
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy tetszőleges szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.
Az Rn egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konvex.
Egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje alatti végtelen síktartomány konvex. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rn egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja alatti térrész (R2 R esetben) konvex.
Köznapi nyelven a konvex-konkáv fogalmat így írják le: a konvexben nem lehet elbújni, a konkávban lehet.
Általános definíció
szerkesztésAz f: R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.
A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.
Konvexitás és differenciálhatóság
szerkesztésHa az f: R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden -beli , számpár esetén
illetve konkáv, ha minden -beli , számpár esetén:
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T1,uf ≧ 0 illetve f – T1,uf ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ pontnál).
Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fennáll a következő
Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).
- f konvex
- f konkáv
Tulajdonságok
szerkesztés- Konvex függvények lineáris kombinációja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
- Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
- Konvex függvények felső burkolója konvex, konkáv függvények alsó burkolója konkáv.
- Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha f konvex, és a λi együtthatók egyike sem negatív, akkor
Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.
- Nyílt intervallumon konvex vagy konkáv függvény folytonos azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex vagy konkáv.
- Nyílt intervallumon konvex vagy konkáv függvény majdnem mindenütt differenciálható.
- Mindezek a tulajdonságok több dimenziós esetben is teljesülnek, ha nyílt intervallum helyett mindig tartományt, azaz összefüggő nyílt halmazt tekintünk.
- Végtelen dimenzióban nem lesz az összes konvex és konkáv függvény folytonos, mivel vannak lineáris operátorok, amik nem folytonosak. Ilyen például a differenciáloperátor.