Főmenü megnyitása

Koordináta-rendszer

(Koordinátarendszer szócikkből átirányítva)
Descartes-féle koordináta-rendszer

A koordináta-rendszer egy tér (vagy sík, egyenes, görbe, felület stb.) pontjait bizonyos alapelemekhez (bázisokhoz) viszonyítva egyértelműen meghatározó rendszer. Egy pont helyzetét a koordináta-rendszerben számokkal (koordinátákkal) adhatjuk meg. A koordináta-rendszereket feloszthatjuk dimenziószámuk (1, 2, 3, …, n dimenziós) és a méretek jellege szerint:

  • Affin (pl. Descartes-féle, carthesianus): a koordináták hosszúságok (távolságok) mérőszámai
  • Poláris: a koordináták hosszúságok és szögek mérőszámai
  • Görbe vonalú (pl. elliptikus, geodetikus): a koordináták egy önkényesen felvett hálózat skálázásából adódnak
  • Homogén (pl. baricentikus, projektív): a koordináták nem abszolút méretek, hanem viszonyszámok (méretarányok)
  • Egyéb, főként felületek pontjainak megadására szolgáló (pl. földrajzi és csillagászati koordináták)

TörténeteSzerkesztés

 
Derékszögű koordináták
 
Polárkoordináták

Főként a Descartes-féle derékszögű koordináták és a poláris koordináták használata terjedt el, de több más rendszert is alkalmaznak. Ezek tulajdonképpen a két alaprendszer variánsai, általánosításai vagy éppen speciális alkalmazásai. Mindkét rendszer eredete homályos. A Descartes-féle síkbeli koordináták kezdetben az ókori geográfus, Sztrabón térképein mint földrajzi hosszúság és szélesség jelentek meg. Ugyancsak régi, középkori térképeken, hajózási atlaszokon láthatók olyan vonalak, amelyek az ábrázolt tenger térségében megadják az egyes kikötőktől a többi kikötőhöz, vagy tájékozódási ponthoz vezető kurzust (távolság + irány). A legismertebb derékszögű koordinátákat René Descartes du Peron előtt is alkalmazták a matematikusok. Nevét a rendszer azért örökölte, mert korszakalkotó munkáját (Értekezés a módszerről, 1637) követően vált az koordinátageometria és a függvénytan elengedhetetlen eszközévé.

A földrajzi koordináták használatának hasznosságára már Sztrabón előtt Hipparkhosz és Klaudiosz Ptolemaiosz rámutatott. A derékszögű rendszert is használta Descartes-ot megelőzően Nicole d’Oresme (1320–1382) mozgások (mozgásegyenletek) ábrázolására. Bizonyos tekintetben Descartes eredményeit meghaladták kortársának, Pierre de Fermat-nak a vizsgálatai a kúpszeletek analitikus geometriája terén (Ad locus planos et solidos isagoge, 1679). A két alapváltozattól különböző rendszerek alkalmazásának is vannak előzményei. Apollóniosz az i. e. 200 körül megjelent Kónika (Kúpszeletek) című munkájában e síkgörbék pontjait két konjugált átmérőjükhöz viszonyítva vizsgálta, s ezzel (kimondatlanul) ferdeszögű koordináta-rendszert használt. A homogén rendszerek első változatát, a baricentrikus koordinátákat August Ferdinand Möbius (1790–1868) alkalmazta (Der baryzentrische Kalkül), s vele egy időben a Julius Plücker (1801–1868) a róla elnevezett rendszert a kúpszeletek és másodrendű felületek geometriájában (Theorie der algebraische Curven, 1839).

Descartes-féle koordináta-rendszerSzerkesztés

 
Alapértelmezés

A Descartes-féle rendszerek bázisát és koordinátákat kétféleképpen értelmezhetjük:

  • Közös kezdőpontú számegyenesektől (tengelyek) mért távolságok a koordináták.
  • Közös kezdőpontú egységvektorok együtthatói adják a pont koordinátáit.

A sík koordináta-rendszerét 2 számegyenessel, ill. 2 egységvektorral, a térét 3-3 elemű bázissal adjuk meg.

A definíció nem köti ki a tengelyek merőlegességét, sem azt, hogy azok skálázása azonos legyen. Ezért megkülönböztethetünk

  • ortogonális (derékszögű) és klinogonális (ferdeszögű)
  • normált (azonos léptékű) és denormált (különböző léptékű)

rendszereket.

 
Affin rendszerek

A klasszikus Descartes-féle rendszer ortonormált, vagyis ortogonális és normált.

Csak az ortogonális rendszerben azonosak egy pont fentebb kétféleképpen értelmezett koordinátái.

Síkbeli rendszerSzerkesztés

A síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben egy   pont helyzetét az   síkon az   rendezett számpárral (koordináta-kettős) adjuk meg. A két tengely metszéspontja a koordináta-rendszer kezdőpontja az origó ( ). A megállapodás szerinti első   koordináta az abszcissza, a második   koordináta az ordináta. Ugyanezekkel a jelzőkkel különböztetjük meg a tengelyeket. A vektoros értelmezésnél az   és   tengelyek irányába mutató egységvektorokat   jelöli.

  •   a   pont előjeles távolsága az   tengelytől és
  •   a   pont előjeles távolsága az   tengelytől.
  • illetve az  .

Térbeli rendszerSzerkesztés

 
Bal- és jobbsodrású koordináta-rendszerek

A térben egy   pont helyzetét az   rendezett hármassal adjuk meg. A rendszer harmadik   tengelye az applikáta, a megfelelő egységvektor  . Meg kell különböztetni a három tengely (egységvektor) bejárási sorrendjét: jobb- vagy balsodrású rendszer (ld. ábra.)

  •   a   pont előjeles távolsága az   síktól és
  •   a   pont előjeles távolsága az   síktól és
  •   a   pont előjeles távolsága az   síktól.
  • illetve az  .

Más dimenziókSzerkesztés

  • Az egyenes Descartes-féle koordináta-rendszert egyetlen számegyenes ill. egységvektor határozza meg.
  • Einstein relativitáselméletének formulázására Hermann Minkowski használta a négydimenziós téridő (tér-idő) rendszert. Itt a három térbeli koordináta az idővel kiegészítve egy pont (test) térbeli és időbeli helyzetét adja meg:  .
  • A lineáris algebra az Descartes-féle koordináták általánosításával értelmezett tetszőleges n dimenziós vektortér lineáris transzformációival foglalkozik. E tér pontjait (azok helyvektorait) az   rendezett n-essel, vagy véges, n elemű sorozatokkal reprezentálja.
  • A Hilbert-tér pontjait az   végtelen sorozatok képviselik.
  • A síkban a Descartes-féle koordináta-rendszerben egy egyenest az   egyenlettel adunk meg. Ennek az együtthatói az egyenes homogén vonal-koordinátái: [A,B,C].
  • A térben egy sík egyenlete:  . A sík homogén koordinátáit az [A,B,C,D] rendezett négyes alkotja.

PolárkoordinátákSzerkesztés

 
Síkbeli polárkoordináták

Síkbeli rendszerSzerkesztés

A síkbeli rendszert az   kezdőpontja (origó) és egy ebből kiinduló   irányított és skálázott félegyenes (polártengely) definiálja. (A tengely az irányába mutató, origóból induló egységvektorral is megadható.)

A szögmérés előjelezését megállapodás rögzíti: balsodrású ill. jobbsodrású rendszer.

Egy   pont helyét két adattal adjuk meg:  .

  •   (sugár) a pontnak az origótól való távolsága: vezérsugár (radius vector),
  •   a polártengely és az   a szakasz által bezárt szög: polárszög (azimut).

Térbeli rendszerekSzerkesztés

 
A térbeli polárkoordináták

A térbeli poláris rendszert egy alapsík (horizont) és egy erre merőleges (ortogonális) vagy ferde (klinogonális) tengely határozza meg, ahol a horizont síkjában egy poláris rendszer is adott. A   pont vetületének síkbeli koordinátái:  . A   térbeli helyzetét az   vetítősíkon belüli koordinátával adjuk meg.

HengerkoordinátákSzerkesztés

(A vetítősíkon belül: Descartes-koordináták.)

a   koordinátái:

  •   az   vezérsugár vetülete a horizont-síkon,
  •   a pont (előjeles) magassága,
  •   a pont vetületének azimutja.

GömbkoordinátákSzerkesztés

(A vetítősíkon belül: polárkoordináták.)

 
Térbeli polárkoordináták

A szakirodalom kétféle értelmezést használ:

Ekvatoriális gömbkoordinátákSzerkesztés

a   koordinátái:

  •   az   vezérsugár hossza,
  •   a vetület azimutja,
  •   a vezérsugár deklinációja.
Poláris gömbkoordinátákSzerkesztés

a   koordinátái:

  •   az   vezérsugár hossza,
  •   a vetület azimutja,
  •   a vezérsugár pólustávolsága.

Néhány forrás ez utóbbira a kúpkoordináták elnevezést használja.

Görbevonalú rendszerekSzerkesztés

KoordinátavonalakSzerkesztés

A síkban azok a pontok, amelyeknek az egyik koordinátája állandó (azonos), egy-egy összefüggő koordinátavonalon fekszenek. A Descartes-rendszerekben (affin rendszerek) a koordinátavonalak párhuzamos egyenesek, a poláris rendszerben közös pontból induló félegyenesek és koncentrikus körök. Azok a pontok, amelyeknek mindkét koordinátája egész, a rácspontok. A térbeli rendszereknél a koordináta felületek (nívófelületek) játszanak hasonló szerepet.

A síkon és sok más felületen megadhatunk két olyan vonalsereget, amelyek a klasszikus rendszerektől eltérő koordináta-hálózatot adnak. A matematikusok általában u és v vonalaknak nevezik, s ezek akkor alkothatnak koordináta-rendszert, ha

  • minden u vonal metsz minden v vonalat (folytonosság),
  • egy pontra pontosan egy vonalpár illeszkedik (egyértelműség és teljesség).

Gauss-féle koordinátákSzerkesztés

 
Gauss-féle koordináták

Görbült felületeken leginkább a geodetikus vonalakat használjuk a koordinálásra. A síkban az egyenesek a geodetikus vonalak, az affin rendszerek tehát a sík geodetikus (Gauss-féle) koordináta-rendszerei.

Elliptikus sík-koordinátákSzerkesztés

  • Az u vonalak közös fókuszú ellipszisek,
  • A v vonalak ugyanezen közös fókuszokkal adott hiperbolák,
  • A két vonalsereg elemei egymást merőlegesen metszik (ortogonális rendszer).

Síkbeli elliptikus polárkoordinátákSzerkesztés

A klasszikus polársík koncentrikus köreit azonos lapultságú ellipszisek váltják fel. A hálózat a klasszikus hálózat nyújtása vagy zsugorítása adja (merőleges-tengelyes affinitás).

Térbeli elliptikus hengerkoordinátákSzerkesztés

A hengerkoordináták mintájára a horizontsíkban elliptikus polárkoordinátákat használunk.

Térbeli ellipszoid koordinátákSzerkesztés

A közönséges gömbkoordináták rendszeréből a nívófelületek (koncentrikus gömbök) nyújtásával vagy zsugorításával forgási ellipszoidokat használunk (merőleges-tengelysíkos térbeli affinitás).

Homogén koordinátákSzerkesztés

A homogén rendszerek az általános projektív koordináta-rendszer speciális esetei. A (projektív) síkban egy pontot egy rendezett   hármas, a térben egy rendezett   négyes ad meg.

Projektív sík-koordinátákSzerkesztés

A síkon kívüli   pontból, három – nem egy síkban fekvő – a0, a1, a2 vektor tűzi ki a projektív rendszer A0, A1, A2 síkbeli bázisát. A   pontot a három kitűző vektor lineáris kombinációjával meghatározott

 
vektor egyenesének a síkkal való döféspontja szolgáltatja. Ha a három koordinátát ugyanazzal a (nullától különböző) M számmal megszorozzuk, ugyanazt a pontot adja meg az   trojka: homogenitás.

A rendszert a térbeli   helyett az   egységponttal és az  ,  ,   alappontokkal is kijelölhetjük, feltéve, hogy a négy pont különböző legyen és hármasával nem esnek egy egyenesre.

Baricentrikus koordinátákSzerkesztés

Ha az   egységpontot az   háromszög   súlypontjában jelöljük ki, akkor a három homogén koordináta az alappontokba helyezett súlyokat képviseli, s a velük adott pont e hármas pontrendszer súlypontját jelenti.

Plücker-féle koordinátákSzerkesztés

Ha az   és   alappontokat a sík ideális egyenesén jelöljük ki, affin rendszert kapunk. Ha ennek tengelyei (  és  ) merőlegesek, akkor a rendszer ortogonális. Ha az   egységpont a merőleges tengelyek szögfelezőjébe esik, akkor ortonormált rendszert kapunk.

Ha ennek a Plücker-féle ortonormált rendszernek a tengelyeit a klasszikus Descartes-rendszer tengelyeinek megfeleltetjük, akkor a sík egy   pontját a kétféle rendszerben az   Descartes-i és az   Plücker-féle koordináták egyenértékűen határozzák meg, ha közöttük a következő egyenlőségek teljesülnek:

  és  , ha  ,

illetve

 

A   koordinátahármas ideális pontot jelöl.

Megjegyzés: Néhány forrás a Plücker-koordinátákat csak homogén koordinátáknak nevezi és az   jelölést alkalmazza.

ForrásokSzerkesztés

  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Budapest: Műszaki. 1987. ISBN 963-10-5309-1  
  • Pattantyús: I. Matematikai képletek, táblázatok. Főszerk. Sályi István. Budapest: Műszaki. 1961.  
  • Hajós György: Bevezetés a geometriába. Budapest: Tankönyvkiadó. 1960.  
  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei. Budapest: Közoktatásügyi. 1951.  
  • Reiman István: Matematika. Budapest: Műszaki. 1992.  
  • Hack Frigyes et al: Négyjegyű függvénytáblázatok, … Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. [é. n.]  
  • Péntek Kálmán, dr: A lineáris algebra alapjai. Szombathely: Oskar. 2000.  
  • Free On-line Dictionary of Computing (angol nyelven). (Hozzáférés: 2016. november 3.)

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés