Kronecker–Capelli-tétel
A Kronecker–Capelli-tétel a lineáris algebra tétele, amely arra ad választ, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer megoldható-e. A tétel állítása szerint egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha az együtthatóiból képzett mátrix rangja megegyezik a bővített mátrixának a rangjával.
Példa
szerkesztésTekintsük a következő egyenletrendszert:
- x + y + 2z = 3
- x + y + z = 1
- 2x + 2y + 2z = 2.
Az együtthatók mátrixa
és a bővített mátrix
Mivel mindkét mátrix rangja 2, ezért létezik megoldás. Ugyanakkor a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma, ami 3, ezért végtelen sok megoldás van.
Ellenpéldaként tekintsük a következő rendszert:
- x + y + 2z = 3
- x + y + z = 1
- 2x + 2y + 2z = 5.
ahol az együtthatók mátrixa
és a bővített mátrix
Ebben a példában az együtthatómátrix rangja 2, míg a bővített mátrix rangja 3, ezért ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása. A lineárisan független sorok száma eggyel nő a bővített mátrixban, ami inkonzisztenssé teszi az egyenletrendszert.
Kapcsolódó szócikkek
szerkesztésFordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Rouché–Capelli theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Hivatkozások
szerkesztés- A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975, 84. old.
- A. Carpinteri. Structural mechanics. Taylor and Francis, 74. o. (1997). ISBN 0-419-19160-7