Kronecker-szorzat

fogalom a mátrixszámításban

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Definíció

szerkesztés

Ha     méretű és     méretű mátrix, akkor a   Kronecker-szorzat nem más, mint

 

azaz az   mátrix minden elemét megszorozzuk a   mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete  

Részletesebben:

 

Első példa

szerkesztés
 

Második példa

szerkesztés
 

Tulajdonságai

szerkesztés

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

 

Azonban mindig vannak   permutációmátrixok, hogy

 

Hogyha   és   négyzetes, akkor választhatók úgy, hogy   legyen.

A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

 
 
 

A Kronecker-szorzás asszociatív:

 

A transzponáltakra teljesül, hogy:

 .

A komplex konjugált mátrixra:

 .

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

 

A Kronecker-szorzat rangja:

 .

Ha   mérete   és   mérete  , akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

 .

Ha   az   és   a   sajátértékei, akkor

  az   mátrix sajátértékei.

Ha   invertálható, akkor

 .

Legyenek   és   komplex mátrixok a

  •  
  •  
  •  
  •  

dimenziókkal; ekkor léteznek az   és a   szorzatok, és[1]

 .

A pszeudoinverzekre

 .

Általában, ha   és     és   általánosított inverzei, akkor   az   általánosított inverze.

Mátrixegyenletek

szerkesztés

Adva legyenek az   mátrixok, és keressük azt az   mátrixot, amire  . Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

 

ahol   a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az   mátrix oszlopait  , ekkor az   egy   hosszú oszlopvektor. Hasonlóan,   egy   oszlopvektor.

A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan  , akkor az   mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyítása

szerkesztés

Teljesül  

ahol  

Mátrix együtthatós egyenletek

szerkesztés

Az   és   indexekhez legyenek adva az   mátrixok. Keressük az   mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

 

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

 

Kapcsolat a tenzorszorzással

szerkesztés

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti   és   lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

  lineáris leképezés

a   -vel vett tenzorszorzatok között.

Hogyha bázist választunk az   és   tereken, akkor a   lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot  , és a   ábrázolását  ! Ekkor az   Kronecker-szorzat a   tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha   a   bázisa, és   a   bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a   bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásai

szerkesztés

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.

A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletek

szerkesztés

A Tracy‑Singh és a Khatri–Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix mi × nj méretű Aij blokkokra, a B p × q-s mátrix pk × ql méretű Bkl blokkokra particionálva, ahol Σi mi = m, Σj nj = n, Σk pk = p és Σl ql = q.

Tracy–Singh-szorzat

szerkesztés

A Tracy–Singh-szorzat definíciója:[2][3]

 

ahol a szorzat ij indexű blokkja az mi p × nj q méretű AijB mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az mi pk × nj ql méretű AijBkl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.

Példa:

Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

 

kapjuk, hogy:

 
 

Khatri–Rao-szorzat

szerkesztés

Története

szerkesztés

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

  1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16
  2. Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.
  3. Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf Archiválva 2011. január 27-i dátummal a Wayback Machine-ben)