Főmenü megnyitása

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Ha     méretű és     méretű mátrix, akkor a   Kronecker-szorzat nem más, mint

 

azaz az   mátrix minden elemét megszorozzuk a   mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete  .

Részletesebben:

 

PéldákSzerkesztés

Első példaSzerkesztés

 

Második példaSzerkesztés

 

TulajdonságaiSzerkesztés

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

 

Azonban mindig vannak   permutációmátrixok, hogy

 

Hogyha   és   négyzetes, akkor választók úgy, hogy   legyen.

A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

 
 
 

A Kronecker-szorzás asszociatív:

 

A transzponáltakra teljesül, hogy:

 .

A komplex konjugált mátrixra:

 .

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

 

A Kronecker-szorzat rangja:

 .

Ha   mérete   és   mérete  , akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

 .

Ha   az   és   a   sajátértékei, akkor

  az   mátrix sajátértékei.

Ha   invertálható, akkor

 .

Legyenek   és   komplex mátrixok a

  •  
  •  
  •  
  •  

dimenziókkal; ekkor léteznek az   és a   szorzatok, és[1]

 .

A pszeudoinverzekre

 .

Általában, ha   és     és   általánosított inverzei, akkor   az   általánosított inverze.

MátrixegyenletekSzerkesztés

Adva legyenek az   mátrixok, és keressük azt az   mátrixot, amire  . Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

 

ahol   a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az   mátrix oszlopait  , ekkor az   egy   hosszú oszlopvektor. Hasonlóan,   egy   oszlopvektor.

A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan  , akkor az   mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyításaSzerkesztés

Teljesül  

ahol  

Mátrix együtthatós egyenletekSzerkesztés

Az   és   indexekhez legyenek adva az   mátrixok. Keressük az   mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

 

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

 

Kapcsolat a tenzorszorzássalSzerkesztés

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti   és   lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

  lineáris leképezés

a   -vel vett tenzorszorzatok között.

Hogyha bázist választunk az   és   tereken, akkor a   lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot  , és a   ábrázolását  ! Ekkor az   Kronecker-szorzat a   tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha   a   bázisa, és   a   bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a   bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásaiSzerkesztés

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.

A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletekSzerkesztés

A Tracy‑Singh és a Khatri‑Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix mi × nj méretű Aij blokkokra, a B p × q-s mátrix pk × ql méretű Bkl blokkokra particionálva, ahol Σi mi = m, Σj nj = n, Σk pk = p és Σl ql = q.

Tracy‑Singh-szorzatSzerkesztés

A Tracy‑Singh-szorzat definíciója:[2][3]

 

ahol a szorzat ij indexű blokkja az mi p × nj q méretű AijB mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az mi pk × nj ql méretű AijBkl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.

Példa:

Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

 

kapjuk, hogy:

 
 

Khatri‑Rao-szorzatSzerkesztés

A Khatri‑Rao-szorzat definíciója:[4][5]

 , ahol az ij indexű blokk mipi × njqj méretű Kronecker-szorzata a megfelelő blokkoknak, feltéve, hogy a két mátrix blokkjainak száma azonos. A szorzat mérete (Σi mipi) × (Σj njqj).

Példák:

1. példa:

 

2. példa: oszloponkénti Khatri‑Rao-szorzat:

 

kapjuk, hogy:

 

TörténeteSzerkesztés

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16
  2. Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.
  3. Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf[halott link])
  4. Khatri C. G., C. R. Rao (1968), "Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions", Sankhya 30: 167–180, <http://sankhya.isical.ac.in/search/30a2/30a2019.html> Archiválva 2010. október 23-i dátummal a Wayback Machine-ben
  5. Zhang X, Yang Z, Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri-Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes 2: 117–124

ForrásokSzerkesztés