Lambert-féle W-függvény

(Lambert W függvény szócikkből átirányítva)

A matematikában a Lambert-féle W-függvény, más néven az omega-függvény vagy a logaritmusszorzat-függvény, egy függvény, amely az inverze a z = f(W) = WeW függvénynek, ahol eW az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

A W(x) grafikonja W > −4 és x < 6-ra. A felső rész: W ≥ −1 a W0 függvény, az alsó rész: W ≤ −1 a W−1 függvény.

ahol z egy komplex szám.

Mivel az ƒ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk, amit W0(x)-vel jelölnek. Adott hogy W0(0)=0 és W0(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét", ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W−1(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W−1(−1/e) = −1-től, W−1(0) = −∞ -ig.

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel.[1] A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szintén megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint például: y'(t) = a y(t − 1).

Jelölések szerkesztés

 
A függvény két fő része a   és a  

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W0-et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W−1-et pedig Wm-mel jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a W0 és a W−1) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.[2]

Története szerkesztés

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-as műve[3] vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához,[4] amiben a wew-t vizsgálta. Az első említése a wew inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik.[5] A Lambert-féle W-függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikai duplapotenciál-gödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sokszor felbukkan a természetben.[2][6]

Analízis szerkesztés

Derivált szerkesztés

Implicit deriválással bizonyítható, hogy W különböző részei (alsó, felső) kielégítik a következő differenciálegyenletet:

 

(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

 

Továbbá:

 

Primitív függvény szerkesztés

A W(x) függvény, és egyéb kifejezések, amelyek tartalmazzák W(x)-et, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w ew:

 

Aminek a következménye (felhasználva, hogy  ):

 

Sorfejtés szerkesztés

A   Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

 

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomorf függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W0 aszimptotikusan egyenlő:

 
 

ahol,   és   a nemnegatív Stirling szám.[7] Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

 

A másik valós rész a,  , a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát:   and  .

Egész és komplex hatványa a függvénynek szerkesztés

Egész hatványai a   függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a   pont körül:

 

Általánosabban,  -re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

 

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Illetve:

 

ami igaz bármely  -re és  -re.

Nevezetes értékek szerkesztés

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzés: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass-tétel, alapján eW(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)eW(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak, hogy x algebrai.

 

 

 

 

  (az Omega konstans)

 

 

 

Egyéb formulák szerkesztés

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

 
 
 

A második azonosság levezethető a

 

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

 
 

Vagyis:

 
 
 
 
  (helyettesítve  -t)
 
 
 
 

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a   helyettesítéssel.

Alkalmazások szerkesztés

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W-függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = XeX alakja legyen, ahonnan a W-függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

 

Példák szerkesztés

1. példa szerkesztés

 

Általánosságban a

 

egyenlet, ahol

 

átalakítható a következő helyettesítéssel:

 

A helyettesítés után:

 

ami, a következő megoldásokat adja:

 

vagyis a végső megoldás:

 

2. példa szerkesztés

 
 
 
 
 

vagyis,

 

mert

 

a definíció szerint.

3. példa szerkesztés

Amikor egy komplex végtelen tetráció

 

konvergál, a W-függvény megadja a határértéket:

 

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

 

ha c létezik, vagyis

 
 
 
 
 
 
 
 
 

ami az elvárt eredmény.

4. példa szerkesztés

A

 

megoldásai

 

alakúak.[6]

5. példa szerkesztés

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lásd dióda modellezés.

6. példa szerkesztés

A

 

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete  , ami   -hoz vezet és  -hoz. Ha , csak   -t kell figyelembe venni.

Általánosítás szerkesztés

A hagyományos W-függvény megadja a pontos megoldásait a transzcendens algebrai egyenleteknek, amik a következő formájúak vagy ilyen formára hozhatóak:

 

ahol a0, c ér r valós konstansok. A megoldás  .

Grafikon szerkesztés

Közelítő eljárások a kiszámítására szerkesztés

A W-függvény közelíthető Newton-módszerrel, egymást követő közelítésekkel   (vagyis  ):

 

A W-függvény szintén közelíthető Halley-módszerrel,

 

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lambert W function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek szerkesztés

  1. Chow, Timothy Y. (1999), "What is a closed-form number?", American Mathematical Monthly 106 (5): 440–448, DOI 10.2307/2589148.
  2. a b (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics 5, 329–359. o. DOI:10.1007/BF02124750.  
  3. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128–168, 1758 (facsimile)
  4. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  5. Aufgaben und Lehrsätze der Analysis. Berlin: Springer-Verlag [1925] (1998) 
  6. a b Corless, R. M. (1993). „Lambert's W function in Maple”. The Maple Technical Newsletter 9, 12–22. o, Kiadó: MapleTech.  
  7. Approximation of the Lambert W function and the hyperpower function, Hoorfar, Abdolhossein; Hassani, Mehdi.

Források szerkesztés

Külső linkek szerkesztés