Lambert-féle W-függvény
A matematikában a Lambert-féle W-függvény, más néven az omega-függvény vagy a logaritmusszorzat-függvény, egy függvény, amely az inverze a z = f(W) = WeW függvénynek, ahol eW az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:
ahol z egy komplex szám.
Mivel az ƒ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk, amit W0(x)-vel jelölnek. Adott hogy W0(0)=0 és W0(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét", ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W−1(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W−1(−1/e) = −1-től, W−1(0−) = −∞ -ig.
A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel.[1] A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szintén megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint például: y'(t) = a y(t − 1).
Jelölések
szerkesztésA Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W0-et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W−1-et pedig Wm-mel jelölik ugyanitt.
Az itt alkalmazott jelölések (a W0 és a W−1) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.[2]
Története
szerkesztésLambert Lambert's Transcendental Equation 1758-as műve[3] vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához,[4] amiben a wew-t vizsgálta. Az első említése a wew inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik.[5] A Lambert-féle W-függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikai duplapotenciál-gödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sokszor felbukkan a természetben.[2][6]
Analízis
szerkesztésDerivált
szerkesztésImplicit deriválással bizonyítható, hogy W különböző részei (alsó, felső) kielégítik a következő differenciálegyenletet:
(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:
Továbbá:
Primitív függvény
szerkesztésA W(x) függvény, és egyéb kifejezések, amelyek tartalmazzák W(x)-et, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w ew:
Aminek a következménye (felhasználva, hogy ):
Sorfejtés
szerkesztésA Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:
A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomorf függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.
Nagy x értékekre, W0 aszimptotikusan egyenlő:
ahol, és a nemnegatív Stirling szám.[7] Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:
A másik valós rész a, , a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát: and .
Egész és komplex hatványa a függvénynek
szerkesztésEgész hatványai a függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a pont körül:
Általánosabban, -re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:
vagyis, a Laurent sor mértéke r.
Illetve:
ami igaz bármely -re és -re.
Nevezetes értékek
szerkesztésBármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzés: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass-tétel, alapján eW(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)eW(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak, hogy x algebrai.
(az Omega konstans)
Egyéb formulák
szerkesztésSzámos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:
A második azonosság levezethető a
helyettesítéssel ami így a következőket adja:
Vagyis:
- (helyettesítve -t)
A harmadik azonosság levezethető a másodikból a helyettesítéssel.
Alkalmazások
szerkesztésSok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W-függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = XeX alakja legyen, ahonnan a W-függvény megadja X értékeit.
Vagyis:
Példák
szerkesztés1. példa
szerkesztés
Általánosságban a
egyenlet, ahol
átalakítható a következő helyettesítéssel:
A helyettesítés után:
ami, a következő megoldásokat adja:
vagyis a végső megoldás:
2. példa
szerkesztésvagyis,
mert
a definíció szerint.
3. példa
szerkesztésAmikor egy komplex végtelen tetráció
konvergál, a W-függvény megadja a határértéket:
ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:
ha c létezik, vagyis
ami az elvárt eredmény.
4. példa
szerkesztésA
megoldásai
alakúak.[6]
5. példa
szerkesztésAz áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lásd dióda modellezés.
6. példa
szerkesztésA
differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete , ami -hoz vezet és -hoz. Ha , csak -t kell figyelembe venni.
Általánosítás
szerkesztésA hagyományos W-függvény megadja a pontos megoldásait a transzcendens algebrai egyenleteknek, amik a következő formájúak vagy ilyen formára hozhatóak:
ahol a0, c ér r valós konstansok. A megoldás .
Grafikon
szerkesztés-
z = Re(W0(x + i y))
-
z = Im(W0(x + i y))
-
z = W0(x + i y)
Közelítő eljárások a kiszámítására
szerkesztésA W-függvény közelíthető Newton-módszerrel, egymást követő közelítésekkel (vagyis ):
A W-függvény szintén közelíthető Halley-módszerrel,
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Lambert W function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ Chow, Timothy Y. (1999), "What is a closed-form number?", American Mathematical Monthly 106 (5): 440–448, DOI 10.2307/2589148.
- ↑ a b (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics 5, 329–359. o. DOI:10.1007/BF02124750.
- ↑ Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128–168, 1758 (facsimile)
- ↑ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
- ↑ Aufgaben und Lehrsätze der Analysis. Berlin: Springer-Verlag [1925] (1998)
- ↑ a b Corless, R. M. (1993). „Lambert's W function in Maple”. The Maple Technical Newsletter 9, 12–22. o, Kiadó: MapleTech.
- ↑ Approximation of the Lambert W function and the hyperpower function, Hoorfar, Abdolhossein; Hassani, Mehdi.
Források
szerkesztés- (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics, Berlin, New York 5, 329–359. o, Kiadó: Springer-Verlag. [2010. december 14-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. (Hozzáférés: 2014. április 14.)
- Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). „Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2”. IEEE Trans. Signal Processing 50 (9). [2012. március 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2014. április 14.)
- Francis et al. (2000). „Quantitative General Theory for Periodic Breathing”. Circulation 102 (18), 2214. o. (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
- Hayes, B. (2005). „Why W?”. American Scientist 93, 104–108. o.
- Sablon:Dlmf
- (2005) „A New Elementary Function for Our Curricula?” (PDF). Australian Senior Mathematics Journal 19 (2), 8–26. o, Kiadó: Australian Association of Mathematics Teachers. ISSN 0819-4564. ERIC EJ720055.
- (2006) „General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1), 41–47. o. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
- Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); (2012) „Lambert W function for applications in physics”. Computer Physics Communications 183, 2622–2628. o. DOI:10.1016/j.cpc.2012.07.008.
- Scott, T. C. (2013). „Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185), 75–83. o.
- Scott, T. C. (2014). „Numerics of the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 48 (1/2), 42–56. o.
- Maignan, Aude (2016). „Fleshing out the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 50 (2), 45–60. o. DOI:10.1145/2992274.2992275.
Külső linkek
szerkesztés- National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W
- MathWorld - Lambert W-Function
- Computing the Lambert W function
- Corless et al. Notes about Lambert W research
- Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
- GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
- Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL