Laplace-transzformáció

A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

 

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.[1]

Ha a transzformált létezik és véges, akkor  -t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése:  

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha   a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan   és   valós szám, hogy az   egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan   szám esetén, amire  .[2]

TulajdonságaiSzerkesztés

LinearitásSzerkesztés

A Laplace-transzformáció lineáris, azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege, valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz. Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át. Röviden:  

Bizonyítás:  

 

Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye.

A generátorfüggvény deriváltjaSzerkesztés

 

Bizonyítás:  

 
 

Ennek akkor van jelentősége, ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk.

A második derivált hasonlóan határozható meg, illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is. A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog a 0-ban felvett értékkel, valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai.

 

Ez teszi lehetővé, hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg.

Konvolúció transzformáltjaSzerkesztés

Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet:

 

A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata:

 

Bizonyítás:  , és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk

 , itt pedig új változót vezetünk be, mégpedig a   helyettesítéssel, így   lesz
 , az integrandusok pedig szétválaszthatóak, így kapjuk:
 
 

Csillapítási tételSzerkesztés

Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel, akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik:

 

Bizonyítás:  

 

Hasonlósági tételSzerkesztés

 

Bizonyítás:  , és itt helyettesítsünk:  , aminek eredményeképpen  , így

 

E két utóbbi tétel lehetővé teszi, hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni. Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges, ugyanis ritkán áll rendelkezésre a   eset, amit egyszerűen meg tudunk oldani.

AlkalmazásokSzerkesztés

A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása, de használható sorozatok összegének kiszámítására, a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is.

DifferenciálegyenletekSzerkesztés

A megoldás azon alapul, hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén, így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk, amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk. A megoldás szempontjából lényeges, hogy ismernünk kell a peremfeltételeket, ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek.

PéldafeladatSzerkesztés

Oldjuk meg a

 

kezdetiérték-problémát!

Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet, a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját, az egyenlőség érvényes marad. Az egyenlet alakja ekkor

 .

Átalakítva, és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

 ,

ami algebrai úton  -re rendezhető:

 .

Ezt résztörtekre bonthatjuk, így az alábbi kifejezést kapjuk:

 ,

aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani. Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása

 .

Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani, egyszerű algebrai átalakítások révén. Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág.

SorozatösszegSzerkesztés

Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük, akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz, aminek összegét egyszerű meghatározni. Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét.[1]

Legyen  . A sorozatot felfoghatjuk úgy, mint egy   függvény természetes számokra való leszűkítését. Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is, és az integrálkifejezést összegezzük. Ha a sor egyenletesen konvergens, akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető. Az integrandus egy mértani sorozat lesz, ami egyszerűen összegezhető, majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni:

 
 .
 

PéldafeladatSzerkesztés

Számítsuk ki a

 

összeget![3]

Tételezzük fel, hogy ezt egy Laplace-transzformált. Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre:

 .

Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik, akár táblázatból való visszakereséssel is:

 .

Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható. Először felírjuk a transzformálás definícióját:

 ,

majd felcseréljük az összegzést és az integrálást. Itt rögtön észre lehet venni, hogy  -re összegzünk, ezért a zárójelben írt tag, azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé:

 
 

A sor összege tehát 1. Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk.

Fourier-transzformációs együtthatók kiszámításaSzerkesztés

Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is. Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni, hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú:

 .

Az összegben a   együtthatókat a következő formula adja meg:

 .

Ha a függvényt a   intervallumon kívül nullának tekintjük, akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is. Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat, amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk:

 
 
 .

Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni. Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek, egy táblázatból ki lehet őket olvasni, egyedül az   helyettesítést kell elvégeznünk.

PéldafeladatSzerkesztés

Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit[4]!

A jel alakja

  a   intervallumon, ami egyben egy periódusa is a függvénynek.

Szorozzuk meg a függvényt a   tényezővel. Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában, hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen. Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik:

 , ahol   az   függvény leszűkítése a periódusra. Ennek transzformáltja
 

Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja. Ahhoz, hogy azokat megkapjuk, a transzformáltban a változót helyettesítjük:

 

Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása ( ), ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni, így adódik:

 

Néhány függvény transzformáltjaSzerkesztés

   
   
   
   
   
   
   
   

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Hanka László, Zalay Miklós. Komplex függvénytan (2003. november 14.) 
  2. A Laplace-transzformált
  3. Természetesen ezt a sort (és még jópár másikat is) ki lehet számolni más módszerekkel is. Csak azért ezzel mutatjuk be, mert egyszerűen kezelhető, és könnyen ellenőrizhető az eredménye.
  4. Ezt saját kezűleg, gyakorlásképpen számoltam ki, nyugodtan lehet benne hibát keresni.

Kapcsolódó oldalakSzerkesztés