Laplace-transzformáció

A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

 

függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.[1]

Ha a transzformált létezik és véges, akkor  -t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése:  

A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha   a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan   és   valós szám, hogy az   egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan   szám esetén, amire  .[2]

TulajdonságaiSzerkesztés

LinearitásSzerkesztés

A Laplace-transzformáció lineáris, azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege, valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz. Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át. Röviden:  

Bizonyítás:  

 

Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye.

A generátorfüggvény deriváltjaSzerkesztés

 

Bizonyítás:  

 
 

Ennek akkor van jelentősége, ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk.

A második derivált hasonlóan határozható meg, illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is. A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog a 0-ban felvett értékkel, valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai.

 

Ez teszi lehetővé, hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg.

Konvolúció transzformáltjaSzerkesztés

Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet:

 

A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata:

 

Bizonyítás:  , és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk

 , itt pedig új változót vezetünk be, mégpedig a   helyettesítéssel, így   lesz
 , az integrandusok pedig szétválaszthatóak, így kapjuk:
 
 

Csillapítási tételSzerkesztés

Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel, akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik:

 

Bizonyítás:  

 

Hasonlósági tételSzerkesztés

 

Bizonyítás:  , és itt helyettesítsünk:  , aminek eredményeképpen  , így

 

E két utóbbi tétel lehetővé teszi, hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni. Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges, ugyanis ritkán áll rendelkezésre a   eset, amit egyszerűen meg tudunk oldani.

AlkalmazásokSzerkesztés

A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása, de használható sorozatok összegének kiszámítására, a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is.

DifferenciálegyenletekSzerkesztés

A megoldás azon alapul, hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén, így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk, amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk. A megoldás szempontjából lényeges, hogy ismernünk kell a peremfeltételeket, ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek.

PéldafeladatSzerkesztés

Oldjuk meg a

 

kezdetiérték-problémát!

Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet, a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját, az egyenlőség érvényes marad. Az egyenlet alakja ekkor

 .

Átalakítva, és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

 ,

ami algebrai úton  -re rendezhető:

 .

Ezt résztörtekre bonthatjuk, így az alábbi kifejezést kapjuk:

 ,

aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani. Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása

 .

Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani, egyszerű algebrai átalakítások révén. Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág.

SorozatösszegSzerkesztés

Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük, akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz, aminek összegét egyszerű meghatározni. Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét.[1]

Legyen  . A sorozatot felfoghatjuk úgy, mint egy   függvény természetes számokra való leszűkítését. Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is, és az integrálkifejezést összegezzük. Ha a sor egyenletesen konvergens, akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető. Az integrandus egy mértani sorozat lesz, ami egyszerűen összegezhető, majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni:

 
 .
 

PéldafeladatSzerkesztés

Számítsuk ki a

 

összeget![3]

Tételezzük fel, hogy ezt egy Laplace-transzformált. Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre:

 .

Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik, akár táblázatból való visszakereséssel is:

 .

Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható. Először felírjuk a transzformálás definícióját:

 ,

majd felcseréljük az összegzést és az integrálást. Itt rögtön észre lehet venni, hogy  -re összegzünk, ezért a zárójelben írt tag, azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé:

 
 

A sor összege tehát 1. Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk.

Fourier-transzformációs együtthatók kiszámításaSzerkesztés

Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is. Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni, hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú:

 .

Az összegben a   együtthatókat a következő formula adja meg:

 .

Ha a függvényt a   intervallumon kívül nullának tekintjük, akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is. Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat, amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk:

 
 
 .

Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni. Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek, egy táblázatból ki lehet őket olvasni, egyedül az   helyettesítést kell elvégeznünk.

PéldafeladatSzerkesztés

Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit!

A jel alakja

  a   intervallumon, ami egyben egy periódusa is a függvénynek.

Szorozzuk meg a függvényt a   tényezővel. Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában, hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen. Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik:

 , ahol   az   függvény leszűkítése a periódusra. Ennek transzformáltja
 

Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja. Ahhoz, hogy azokat megkapjuk, a transzformáltban a változót helyettesítjük:

 

Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása ( ), ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni, így adódik:

 

Néhány függvény transzformáltjaSzerkesztés

   
   
   
   
   
   
   
   

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Hanka László, Zalay Miklós. Komplex függvénytan (2003. december 1.) 
  2. A Laplace-transzformált
  3. Természetesen ezt a sort (és még jópár másikat is) ki lehet számolni más módszerekkel is. Csak azért ezzel mutatjuk be, mert egyszerűen kezelhető, és könnyen ellenőrizhető az eredménye.

Kapcsolódó oldalakSzerkesztés