Lebesgue-mérték

A mértékelméletben a Lebesgue-mérték (ejtsd: löbeg) egy megszokott módszer, hogy mértéket rendeljünk egy n-dimenziós euklideszi tér részhalmazaihoz.

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor a fogalom rendre megegyezik a hosszúság, terület, térfogat fogalmával. Általánosságban n-dimenziós térfogatnak, illetve n-térfogatnak is hívják vagy csak térfogatnak. A fogalmat a valós analízis számos területén használják, leginkább a Lebesgue-integrál definíciójában. Azokat a halmazokat, amelyekhez ilyen módon szám rendelhető, Lebesgue-mérhetőnek hívjuk, és egy ilyen A halmaz Lebesgue-mértékét λ(A)-val jelöljük. Néha dx-szel is jelölik.

A mérték a francia Henri Lebesgue-től származik 1901-ből. Egy évvel később pedig a Lebesgue-integrál fogalmát írta meg. Mindkét témát 1902-ben a disszertációjában publikálta.[1]

DefinícióSzerkesztés

Adott   halmaz, amelyben bármely   (nyitott, zárt vagy akár félig-nyitott) intervallum hosszúsága  . Ekkor az E halmaz külső Lebesgue-mértéke, vagyis a   definíciója:

 .

Ha egy   halmazra igaz, hogy bármely  -re

 ,

akkor az   halmaz Lebesgue-mértéke megegyezik a külső Lebesgue-mértékével, vagyis:  . Amelyik halmazra nem teljesül a feltétel, annak nincs Lebesgue-mértéke.

PéldákSzerkesztés

  • A valós számok körében bármely [a, b] zárt intervallum Lebesgue-mérhető, és a mértéke b-a. A nyílt (a, b) intervallum ugyanakkora mértékű, mivel csupán a két végpontban különbözik, melyek mértéke nulla.
  • Bármely [a, b] és [c, d] Descartes-szorzata Lebesgue-mérhető és a mértéke (b-a)(d-c), vagyis a hozzá tartozó téglalap területe.
  • A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0, annak ellenére, hogy a halmaz sűrű.
  • A Cantor-halmaz egy példa olyan nem megszámlálható halmazra, amelynek Lebesgue-mértéke nulla.

TulajdonságokSzerkesztés

 
Eltolási invariancia: A Lebesgue-mértéke  -nak és  -nek megegyezik.

A Lebesgue-mérték az   térben a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. Ha A Descartes-szorzata az I1 × I2 × ... × In intervallumoknak, akkor A Lebesgue-mérhető és   Itt |I| jelöli az I intervallum hosszát.
  2. Ha A diszjunkt uniója megszámlálhatóan sok diszjunkt Lebesgue-mérhető halmaznak, akkor A is Lebesgue-mérhető és λ(A) egyenlő a halmazok mértékének összegével.
  3. Ha A Lebesgue-mérhető, akkor a komplementere is az.
  4. λ(A) ≥ 0 bármely A Lebesgue-mérhető halmazra.
  5. Ha A és B Lebesgue-mérhetőek és A részhalmaza B-nek, akkor λ(A) ≤ λ(B). (A 2-es, 3-as és a 4-es tulajdonság következményeként.)
  6. Megszámlálhatóan sok Lebesgue-mérhető halmaz uniója és metszete szintén Lebesgue-mérhető. (Nem a 2. és a 3. következménye, mert a halmazok osztálya, amely zárt a komplementer képzésre és diszjunkt unióra, nem feltétlenül zárt megszámlálhatóan sok elem uniójára, pl.:  .)
  7. Ha A nyílt vagy zárt részhalmaza  -nek (vagy akár Borel-halmaz, lásd metrikus tér), akkor A Lebesgue-mérhető.
  8. Ha A Lebesgue-mérhető halmaz, akkor „nagyjából zárt” és „nagyjából zárt”, a Lebesgue-mérték szerint. (Lásd a Lebesgue-mérték regularitási tételét!)
  9. A Lebesgue-mérték Radon-mérték.
  10. Bármely nem-üres nyílt halmaz Lebesgue-mértéke szigorúan pozitív.
  11. Ha A Lebesgue-mérhető halmaz és λ(A) = 0 (null halmaz), akkor bármely részhalmaza A-nak szintén nullmértékű.
  12. Ha A Lebesgue-mérhető és x eleme  -nek, akkor A eltolása x-szel, vagyis A + x = {a + x : aA} szintén Lebesgue-mérhető és ugyanaz a mértéke, mint A-nak.
  13. Ha A Lebesgue-mérhető és  , akkor „A nyújtása  -val” egyenlő  , ami szintén Lebesgue-mérhető és mértéke:   (Lásd a Galilei-féle négyzetes köbös törvényt!)
  14. Általánosabban, ha T egy lineáris transzformáció és A egy mérhető részhalmaza  -nek, akkor T(A) szintén Lebesgue-mérhető, és a mértéke:  .

A fentieket velősen összegezhetjük a következőképpen:

A Lebesgue-mérhető halmazok σ-algebrát alkotnak, amely tartalmazza bármely intervallumok szorzatát és λ egy egyedi teljes transzláció-invariáns, mértéke ennek a σ-algebrának, úgy hogy:   (Vagyis egységnyi hosszúságú n-dimenziós „kocka” mértéke/térfogata/területe/hosszúsága 1.)

Nullmértékű halmazokSzerkesztés

  egy részhalmaza nullmértékű, ha bármely ε > 0-hoz létezik megszámlálhatóan sok n intervallum, amelyek szorzata lefedi a kérdéses halmazt és a mértéke ezen n intervallum szorzata által alkotott Borel-halmaznak maximum ε. Bármely megszámlálható számosságú halmaz nullmértékű.

Ha az   egy részhalmazának Hausdorff-dimenziója kisebb, mint n, akkor a halmaz nullmértékű az n dimenziós Lebesgue-mértékre nézve.

Annak megmutatására, hogy egy adott A halmaz Lebesgue-mérhető gyakran alkalmazzák azt a trükköt, hogy egy olyan „szebb” B-t keresnek ami csak egy nullmértékű halmazban különbözik A-tól (a „különbözik” itt most a szimmetrikus különbségnek felel meg).

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lebesgue measure című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Henri Lebesgue (1902). „Intégrale, longueur, aire” (francia nyelven), Kiadó: Université de Paris.