Legendre-szimbólum

számelmélet

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (17521833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció

szerkesztés

Ha   prímszám és   egész szám, akkor az   Legendre-szimbólum értéke:

  • 0, ha   osztja  -t,
  • 1, ha   kvadratikus maradék  -re nézve – azaz van olyan egész   hogy  ,
  • –1, ha   kvadratikus nemmaradék  -re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú   egész szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai

szerkesztés

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

  1.   (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
  2. Ha  , akkor  
  3.  
  4. Ha   páratlan prím, akkor  , azaz 1, ha   és – 1, ha  
  5. Ha   páratlan prím, akkor  , ami 1, ha   vagy   és – 1, ha   vagy  
  6. Ha   és   páratlan prímszámok, akkor  

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

 

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás

szerkesztés

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások

szerkesztés